Exemples de calcul de dérivée

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La dérivée est une fonction mathématique, plus précisément une fonction de fonctions car elle prend comme argument d’entrée une fonction et renvoie une autre fonction, généralement différente.

Exemples à partir de la définition du nombre dérivé

Fonction constante

Soit c un réel.

Considérons la fonction constante f de valeur c :

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,\mathrm{\forall }h\in {ℝ}^{\mathbb{*}},\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{c-c}{h}=0$

donc

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0$.

Ainsi la dérivée d’une fonction constante est la fonction nulle.

Fonction puissance énième

Démonstration :

Soit la fonction f:

$f(x)=x^n$ définie sur $I$

$h=0$

$\mathrm{\forall }a\in I,\mathrm{\forall }(a+h)\in I$

$t(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

$t(h)=\frac{(a+h{)}^n-a^n}{h}$

$t(h)=\frac{(a^n+n{a}^{n-1}h+p_3{a}^{n-2}{h}^2+p_4{a}^{n-3}{h}^3...p_{n}a{h}^{n-1}+p_{n+1}{h}^n)-a^n}{h}$

Où les coefficients $p_i$ sont donnés par le triangle de Pascal ( $p_1=1$ et $p_2=n$). Les $a^n$ s'annulent, on simplifie par $h$ .

$t(h)=n{a}^{n-1}+p_3{a}^{n-2}h+p_4{a}^{n-3}{h}^2...p_{n}a{h}^{n-2}+p_{n+1}{h}^{n-1}$

Donc : $f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }t(h)=n{a}^{n-1}$

NB: fonctionne pour tout n et permet de retrouver les dérivées des fonctions inverse et racines énième. Cependant si $n<2$ alors la fonction n'est pas dérivable en 0.

Fonction carré

Considérons la fonction f définie sur $ℝ$ par

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,f(x)=x^2$

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,\mathrm{\forall }h\in {ℝ}^{*},\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}$

$=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}=\frac{2hx+h^2}{h}=2x+h$

donc

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }(2x+h)=2x$

la dérivée de f est donc la fonction f’ définie par

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,f^{\prime }(x)=2x$.

Fonction racine

Considérons la fonction f=√x

$\mathrm{\forall }x\in {ℝ}_{+}^{*},\mathrm{\forall }h\in {ℝ}^{*},h>-x,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$

$=\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$

$=\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$

donc

$\mathrm{\forall }x\in {ℝ}_{+}^{*},f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

D’autre part,

$\mathrm{\forall }h\in {ℝ}_{+}^{*},\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}$

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h)-f(0)}{h}=+\mathrm{\infty }$

donc f n’est pas dérivable en 0 et la courbe représentative admet en 0 une demi tangente verticale.

Exemples à partir des formules de dérivées

Voici une série d'exemples de dérivées calculées à partir des formules établies par la méthode avec la limite.

Second degré

Considérons les fonctions suivantes et puis dérivons-les par la suite :

1. $y=x^2+5x-3$

2. $y=3x^2-9x+\frac{2}{3}$

3. $y=-4x^2+\frac{4}{7}x-1$

Dérivées : 1. $y=x^2+5x-3$

$y^{\prime }=(x^2{)}^{\prime }+(5x{)}^{\prime }-(3{)}^{\prime }$

$y^{\prime }=2x+5+0$

$y^{\prime }=2x+5$

2. $y=3x^2-9x+\frac{2}{3}$

$y^{\prime }=(3x^2{)}^{\prime }-(9x{)}^{\prime }+(\frac{2}{3}{)}^{\prime }$

$y^{\prime }=6x-9+0$

$y^{\prime }=6x-9$

3. $y=-4x^2+\frac{4}{7}x-1$

$y^{\prime }=(-4x^2{)}^{\prime }+(\frac{4}{7}x{)}^{\prime }-(1{)}^{\prime }$

$y^{\prime }=-8x+\frac{4}{7}-0$

$y^{\prime }=-8x+\frac{4}{7}$

Troisième degré

Considérons les fonctions suivantes et dérivons-les par la suite :

1. $y=2x^3+6x^2-4x+\frac{9}{\pi }$

2. $y=-x^3-5x^2+\frac{2}{3}x-1$

3. $y=\frac{5}{17}{x}^3+x^2-2x+e$

Dérivées :

1. $y=2x^3+6x^2-4x+\frac{9}{\pi }$

$y^{\prime }=(2x^3{)}^{\prime }+(6x^2{)}^{\prime }-(4x{)}^{\prime }+\left(\frac{9}{\pi }\right)$

$y^{\prime }=6x^2+12x-4+0$

$y^{\prime }=2(3x^2+6x-2)$

2. $y=-x^3-5x^2+\frac{2}{3}x-1$

$y^{\prime }=-(x^3{)}^{\prime }-(5x^2{)}^{\prime }+\left(\frac{2}{3}x\right)-(1{)}^{\prime }$

$y^{\prime }=-3x^2-10x+\frac{2}{3}-0$

$y^{\prime }=-3x^2-10x+\frac{2}{3}$

3. $y=\frac{5}{17}{x}^3+x^2-2x+e$

$y^{\prime }=\left(\frac{5}{17}{x}^3\right)+(x^2{)}^{\prime }-(2x{)}^{\prime }+(e{)}^{\prime }$

$y^{\prime }=\frac{5\times 3x^2}{17}+2x-2+0$

$y^{\prime }=\frac{15x^2}{17}+2x-2$

Fonction puissance réelle

Soit la fonction puissance y :

$y(x)=a{x}^{b}a=0,b\in ℝ$

Alors, la dérivée n-ième de y est donnée, sur des intervalles convenables, par :

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}:y^{(n)}(x)=a\prod _{k=0}^{n-1}(b-k)\cdot x^{b-n}$

Exemples de l'utilisation de la dérivée

L'homme à la tour

Un homme s'éloigne à raison de Modèle:Unité d'une tour de Modèle:Unité de hauteur. À quelle vitesse s'éloigne t-il du sommet de cette tour lorsqu'il est à Modèle:Unité du pied de la tour? Ou de manière plus générale : quelle est la fonction de la vitesse de l'éloignement de cette personne par rapport au sommet de cette tour.

La relation de Pythagore exprime la distance entre le piéton et le sommet de la tour soit $y=\sqrt{x^2+60^2}$, avec y distance du piéton au sommet de la tour et x distance du piéton au pied de celle-ci. Le terme $x$ est la distance entre le pied de la tour et la personne, ce terme peut s'exprimer en fonction du temps $d(t)=vt$ (vitesse par le temps) donc nous pouvons réécrire l'expression $y(t)=\sqrt{d(t{)}^2+60^2}$

La vitesse par rapport au sommet de la tour peut s'exprimer de cette façon à l'instant $t_0$ : $v(t_0)=\frac{y(t_{0+1})-y(t_0)}{t_{0+1}-t_0}$ si $t_{0+1}\to t_0$.

Alors nous nous apercevons que c'est la définition de la dérivée (Voir définition formelle de la dérivée).

Cette vitesse peut être exprimée maintenant comme $v(t)=\frac{d}{dt}y(t)$.

Nous obtenons alors $v(t)=\frac{1}{2}(60^2+d(t{)}^2{)}^{-\frac{1}{2}}(d(t{)}^2{)}^{\prime }$

$v(t)=\frac{d(t{)}^{\prime }d(t)}{\sqrt{60^2+d(t{)}^2}}$.

Après substitution de $d(t)$, on obtient $v(t)=\frac{v^{2}t}{\sqrt{60^2+v^2{t}^2}}$.

vitesse mesuré du sommet de la tour d'homme s'éloignant à Modèle:Unité et distance depuis le sommet de la tour

La courbe en rouge est la représentation de: $v(t)=\frac{v^{2}t}{\sqrt{60^2+v^2{t}^2}}$ La courbe en bleu est la représentation de: $y(t)=\sqrt{d(t{)}^2+60^2}$ distance depuis le sommet de la tour.

Lorsque le piéton est à Modèle:Unité du pied de la tour : Le temps nécessaire pour parcourir les Modèle:Unité de la tour est: $t=80/2.22$ donc sa vitesse par rapport au sommet de la tour est de $v(80/2.22)=1.776m/s$.