Curiosités mathématiques/pliages/accordéon

Ce problème peut surgir lors d'un moment d'ennui profond, une attente interminable chez le dentiste par exemple. Une fois la presse people parcourue, on se retrouve en face à face avec des gens qui ont mal aux dents. On aimerait bien leur parler, mais notre mâchoire endolorie nous en empêche...heureusement, une feuille de papier rectangulaire, blanche, vierge, attire notre regard. Et en l'absence de crayon, nous la plions comme ceci :

Il arrive vite un moment où l'expérience s'arrête, où la bande qu'il reste à plier devient trop petite. Mais la limite du pliage, le mystérieux point bleu, nous intrigue. À quel endroit de la feuille de départ se situe-t-il ? Il nous semble que c'est au tiers. Mais comment en être sûr ?

Voici une solution. Les mathématiques utilisées sont un peu compliquées, mais il doit y avoir plus simple ... (voir plus loin)

La suite des points rouges s'appelera $(a_n)$, celle des points verts $(b_n)$. On obtient ainsi une suite d'intervalles $[a_n;b_n]$ . Le terme $a_{n+1}$ est situé au quart de l'intervalle précédent, Le terme $b_{n+1}$ est situé à la moitié de l'intervalle précédent, d'où une suite récurrente double :

$a_{n+1}=\frac{3a_n+b_n}{4}$

$b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$

avec

$a_0=0;b_0=1$

On a donc une récurrence matricielle :

$\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ b_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)$

En notant :

$A=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$

On a

$\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)=A^n\times \left(\begin{array}{c}{a}_0\\ b_0\end{array}\right),$

où

$\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ b_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right).$

Il ne reste plus qu'à calculer $A^n$ avec la bonne vieille méthode de diagonalisation :

Le polynôme caractéristique de A est :

$\left|\begin{array}{cc}\frac{3}{4}-X& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}-X\end{array}\right|=X^2-\frac{5}{4}X+\frac{1}{4}$

Ses valeurs propres sont les racines : $1$ et $\frac{1}{4}$

Et les vecteurs propres associés sont :

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right);\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$

La matrice de passage est :

$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\right)$

Son inverse est :

$P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}& \frac{-1}{3}\end{array}\right)$

et avec la diagonale :

$\mathrm{\Delta }=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{1}{4}\end{array}\right)$

On a :

$A=P\times \mathrm{\Delta }\times P^{-1}$

donc :

$A^n=(P\times \mathrm{\Delta }\times P^{-1}{)}^n=P\mathrm{\Delta }{P}^{-1}P\mathrm{\Delta }{P}^{-1}P\mathrm{\Delta }{P}^{-1}...P\mathrm{\Delta }{P}^{-1}=P{\mathrm{\Delta }}^n{P}^{-1}$

en remplaçant par les valeurs :

$A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{1}{4^n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}& \frac{-1}{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{3}\frac{2\times 4^n+1}{4^n}& \frac{1}{3}\frac{4^n-1}{4^n}\\ \frac{2}{3}\frac{4^n-1}{4^n}& \frac{1}{3}\frac{4^n+2}{4^n}\end{array}\right)$

donc la suite $[a_n;b_n]$ qui n'est autre que la première colonne de la dernière matrice, tend vers $[\frac{1}{3};\frac{1}{3}]$

La position du point bleu limite est donc au tiers de la feuille de départ.

On peut s'en convaincre sans diagonalisation de la façon suivante. D'abord, la suite $(a_n)$ est croissante et majorée par $b_1$, la suite $(b_n)$ est décroissante et minorée par $a_1$, donc ces deux suites convergent.

Ensuite, pour $n\ge 1$, on a

$0\le b_{n+1}-a_{n+1}\le \frac{b_n-a_n}{2},$

puis par récurrence

$0\le b_n-a_n\le \frac{b_1-a_1}{2^{n-1}},$

d'où l'on déduit que les suites ont la même limite $\ell$.

Enfin, pour $n\ge 1$, on a

$\frac{2}{3}{a}_{n+1}+\frac{1}{3}{b}_{n+1}=\frac{2}{3}{a}_n+\frac{1}{3}{b}_n=\cdots =\frac{2}{3}{a}_1+\frac{1}{3}{b}_1,$

si bien que $\ell =(2a_1+b_1)/3$, ce qui traduit que le point bleu est bien au tiers du segment initial.

Plus simplement : Il s'agit de trouver la limite de la série infinie $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\cdots$ qui est une série géométrique de premier terme 1/2 et de raison -1/2.

La somme infinie est donc $\frac{1/2}{1-(-1/2)}=\frac{1}{3}$