Cristallographie géométrique/Symétrie translatoire

Groupe des translations

Définition, propriétés

Considérons l'ensemble infini des translations t d'un réseau de dimension n. Soit une loi interne de composition • telle que la composition des translations tModèle:Ind et tModèle:Ind, de vecteurs τModèle:Ind et τModèle:Ind, produit une translation tModèle:Ind de vecteur τModèle:Ind=τModèle:Ind+τModèle:Ind : tModèle:Ind•tModèle:Ind=tModèle:Ind. L'ensemble des translations du réseau muni de la loi interne • forme un groupe, noté TModèle:Ind, dont les éléments sont les translations du réseau. En effet :

• la composition de deux translations tModèle:Ind et tModèle:Ind de vecteurs τModèle:Ind et τModèle:Ind quelconques produit une translation tModèle:Ind qui est aussi un élément de TModèle:Ind : le groupe est clos ;
• la loi de composition est associative : (tModèle:Ind•tModèle:Ind)•tModèle:Ind=tModèle:Ind•(tModèle:Ind•tModèle:Ind) ;
• il existe un élément neutre e tel que e•t=t•e=t : e est la translation de vecteur nul ;
• tout élément t possède un élément inverse tModèle:Exp, tel que t•tModèle:Exp=tModèle:Exp•t=e : si t est une translation de vecteur τ, tModèle:Exp est la translation de vecteur −τ.

D'autre part, le groupe des translations TModèle:Ind est un groupe abélien : pour tout couple de translations tModèle:Ind et tModèle:Ind, tModèle:Ind•tModèle:Ind=tModèle:Ind•tModèle:Ind, c'est-à-dire que l'ordre dans lequel sont effectuées les translations ne change pas le résultat. Par simplicité de notation, on écrira par la suite tModèle:IndtModèle:Ind au lieu de tModèle:Ind•tModèle:Ind.

L'« ordre » d'un groupe est le nombre d'éléments qui le forment. Le groupe des translations TModèle:Ind contient une infinité d'opérations de translations, son ordre est donc $\mathrm{\infty }$.

Éléments générateurs

Les translations de vecteurs de base eModèle:Ind du réseau (avec la translation de vecteur nul qui est l'élément neutre) permettent par l'application de la loi de composition de reconstruire l'ensemble des éléments du groupe TModèle:Ind. Les translations de vecteur eModèle:Ind forment un « jeu de générateurs » du groupe TModèle:Ind. Ce jeu de générateurs contient un nombre fini d'éléments, plus précisément, le nombre d'éléments générateurs de TModèle:Ind est égal à la dimension n de l'espace dans lequel ont lieu les translations. Dans l'espace bidimensionnel, les éléments générateurs de TModèle:Ind sont les translations des vecteurs a et b, tModèle:Ind et tModèle:Ind. Dans l'espace tridimensionnel, les éléments générateurs de TModèle:Ind sont les translations des vecteurs a, b et c, tModèle:Ind, tModèle:Ind et tModèle:Ind.

Sous-groupes

Le groupe des translations TModèle:Ind contient une infinité de sous-groupes. Les « sous-groupes triviaux » de TModèle:Ind sont TModèle:Ind lui-même et le groupe ne contenant que l'élément neutre, E (ceci est valable pour tous les groupes). Les autres sous-groupes de TModèle:Ind sont les « sous-groupes propres » de TModèle:Ind et sont formés par l'application de la loi de composition sur un jeu de générateurs contenant un nombre de translations de vecteurs de base inférieur à n, ou sur un jeu de générateurs contenant des translations de vecteurs multiples des vecteurs de base, etc. La notation U<T signifie que le groupe U est un sous-groupe de T.

Par exemple, le groupe TModèle:Ind formé par les translations tModèle:Ind de vecteurs combinaisons linéaires de τModèle:Ind=a est un sous-groupe de TModèle:Ind :

• la composition de deux éléments de TModèle:Ind produit un élément qui appartient à TModèle:Ind et TModèle:Ind ;
• comme pour TModèle:Ind, la loi de composition est associative ;
• e est un élément de TModèle:Ind ;
• pour chaque élément de TModèle:Ind, il existe un élément inverse ;
• le groupe TModèle:Ind n'est pas vide ;
• tous les éléments de TModèle:Ind sont aussi éléments de TModèle:Ind : TModèle:Ind est inclus dans TModèle:Ind.

Les vecteurs des translations de TModèle:Ind sont tous parallèles à la direction a.

De même, le groupe TModèle:Ind formé par les translations tModèle:Ind et tModèle:Ind de vecteurs combinaisons linéaires de τModèle:Ind=a et τModèle:Ind=b+c est un sous-groupe de TModèle:Ind. Les vecteurs des translations de TModèle:Ind sont tous parallèles au plan (a,b+c).

De manière générale, le groupe TModèle:Ind d'un réseau de dimension m est un sous-groupe de TModèle:Ind si m est inférieur ou égal à n.

Isomorphisme

Deux groupes T et U d'éléments t et u sont isomorphes si il existe une application bijective f telle que pour tout élément tModèle:Ind de T, f(tModèle:Ind)=uModèle:Ind, et qui préserve la structure de groupe, et dont l'application réciproque fModèle:Exp, telle que pour tout élément uModèle:Ind de U, fModèle:Exp(uModèle:Ind)=tModèle:Ind, préserve aussi la structure de groupe. D'autre part, f doit vérifier les relations suivantes :

$\begin{array}{ccc}f(t_i{t}_j)=f(t_i)f(t_j),& & f^{-1}(u_i{u}_j)=f^{-1}(u_i)f^{-1}(u_j).\end{array}$

Les relations d'isomorphisme entre groupes permet de les classer en « classes d'isomorphisme » ou « groupes abstraits », qui contiennent des groupes de mêmes propriétés. En particulier, deux groupes isomorphes ont le même ordre.

Par exemple, dans l'espace unidimensionnel, soit T le groupe contenant l'ensemble des translations de réseau dont l'élément générateur est la translation tModèle:Ind de vecteur a. Soit U le groupe dont l'élément générateur est la translation uModèle:Ind=tModèle:Ind de vecteur 2a. U est un sous-groupe non trivial de T : il est inclus dans T mais il ne contient pas toutes les translations de vecteurs combinaisons linéaires impaires de a, (2n+1)a où n est un nombre entier. Soit f l'application qui associe à une translation tModèle:Ind de T la translation de vecteur double : tModèle:Ind est un élément de U (et de T). La condition f(tModèle:IndtModèle:Ind)=f(tModèle:Ind)f(tModèle:Ind) est vérifiée : le vecteur double de la translation tModèle:IndtModèle:Ind est égal à la somme des doubles des vecteurs des translations tModèle:Ind et tModèle:Ind. L'application réciproque de f est fModèle:Exp qui associe à une translation uModèle:Ind de U la translation de vecteur moitié : tModèle:Ind est un élément de T (mais pas forcément de U si n est impair). La condition fModèle:Exp(uModèle:InduModèle:Ind)=fModèle:Exp(uModèle:Ind)fModèle:Exp(uModèle:Ind) est aussi vérifiée. Les deux groupes U et T sont donc isomorphes.

Par contre, dans le premier exemple tridimensionnel de la section précédente, le sous-groupe TModèle:Ind de TModèle:Ind n'est pas isomorphe à TModèle:Ind : il n'existe pas d'application permettant d'associer de manière unique à tout élément de TModèle:Ind un élément de TModèle:Ind.