Cristallographie géométrique/Changement de base

Il est souvent utile de changer de système de coordonnées. Il peut arriver qu'une même structure soit décrite avec des bases différentes dans plusieurs publications, ce qui se produit fréquemment dans les systèmes cristallins triclinique, monoclinique et orthorhombique. Lors d'une transition de phase, la maille et/ou le groupe d'espace d'un cristal peut changer. La comparaison des deux structures du cristal avant et après la transition de phase est facilitée si on utilise le système de coordonnées de la structure de plus basse symétrie pour les deux structures. D'autre part, les propriétés physiques d'un cristal sont souvent décrites par un tenseur symétrique rapporté à une base orthonormale. C'est le cas de la dilatation thermique qui s'écrit dans le cas général comme un tenseur symétrique de rang 2. Un autre exemple est celui du tenseur de déplacement thermique d'un atome autour de sa position moyenne dans un cristal. Les tenseurs calculés en cristallographie le sont déjà dans une base orthonormale liée au système du cristal, comme eModèle:Ind=c/c, eModèle:Ind=b/b et eModèle:Ind=eModèle:Ind $\land$ eModèle:Ind dans le système monoclinique, mais l'expression d'un tenseur est plus utile sous sa forme diagonale. La diagonalisation d'un tenseur est un changement de base vers une base dans laquelle le tenseur s'écrit comme une matrice diagonale.

Modèle:Définition

Un changement de base peut s'effectuer entre deux bases de même origine ou d'origines différentes. Les vecteurs de base, les coordonnées des points, les indices de directions et de plans ainsi que les tenseurs ne se transforment pas tous de la même façon lors d'un changement de base.

Bases d'origine commune

Matrice de passage

Un changement de la base directe {aModèle:Ind, bModèle:Ind, cModèle:Ind} vers la base directe {aModèle:Ind, bModèle:Ind, cModèle:Ind} s'effectue à l'aide de la matrice de passage M, définie de la façon suivante :

[\begin{matrix} 𝐚_{2} \\ 𝐛_{2} \\ 𝐜_{2} \end{matrix}] = 𝐌 [\begin{matrix} 𝐚_{1} \\ 𝐛_{1} \\ 𝐜_{1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 𝐌_{11} & 𝐌_{12} & 𝐌_{13} \\ 𝐌_{21} & 𝐌_{22} & 𝐌_{23} \\ 𝐌_{31} & 𝐌_{32} & 𝐌_{33} \end{matrix}] [\begin{matrix} 𝐚_{1} \\ 𝐛_{1} \\ 𝐜_{1} \end{matrix}] .

La matrice de passage M contient dans chaque ligne les composantes des vecteurs de la nouvelle base 2 exprimées dans l'ancienne base 1 :

\begin{matrix} 𝐚_{2} & = & 𝐌_{11} 𝐚_{1} + 𝐌_{12} 𝐛_{1} + 𝐌_{13} 𝐜_{1}, \\ 𝐛_{2} & = & 𝐌_{21} 𝐚_{1} + 𝐌_{22} 𝐛_{1} + 𝐌_{23} 𝐜_{1}, \\ 𝐜_{2} & = & 𝐌_{31} 𝐚_{1} + 𝐌_{32} 𝐛_{1} + 𝐌_{33} 𝐜_{1} . \end{matrix}

M est donc la matrice de passage de l'ancienne base vers la nouvelle base^[1]. Le changement de base inverse s'écrit à l'aide de la matrice de passage inverse MModèle:Exp :

[\begin{matrix} 𝐚_{1} \\ 𝐛_{1} \\ 𝐜_{1} \end{matrix}] = 𝐌^{- 1} [\begin{matrix} 𝐚_{2} \\ 𝐛_{2} \\ 𝐜_{2} \end{matrix}] .

Tenseurs métriques direct et réciproque

Le tenseur métrique direct de la base 2 est

𝐆_{2} = [\begin{matrix} 𝐚_{2} \cdot 𝐚_{2} & 𝐚_{2} \cdot 𝐛_{2} & 𝐚_{2} \cdot 𝐜_{2} \\ 𝐚_{2} \cdot 𝐛_{2} & 𝐛_{2} \cdot 𝐛_{2} & 𝐛_{2} \cdot 𝐜_{2} \\ 𝐚_{2} \cdot 𝐜_{2} & 𝐛_{2} \cdot 𝐜_{2} & 𝐜_{2} \cdot 𝐜_{2} \end{matrix}] .

En posant eModèle:Ind=aModèle:Ind, eModèle:Ind=bModèle:Ind, eModèle:Ind=cModèle:Ind, eModèle:Ind=aModèle:Ind, eModèle:Ind=bModèle:Ind et eModèle:Ind=cModèle:Ind, une composante GModèle:Ind de GModèle:Ind s'écrit en fonction des vecteurs de l'ancienne base 1 comme :

\begin{matrix} 𝐆_{2, i j} & = & 𝐞_{2, i} \cdot 𝐞_{2, j} = (\sum_{k = 1}^{3} 𝐌_{k i} 𝐞_{1, i}) \cdot (\sum_{l = 1}^{3} 𝐌_{l j} 𝐞_{1, j}) \\ = & \sum_{k = 1}^{3} \sum_{l = 1}^{3} 𝐌_{k i} 𝐞_{1, i} \cdot 𝐞_{1, j} 𝐌_{l j} = \sum_{k = 1}^{3} \sum_{l = 1}^{3} 𝐌_{k i} G_{1, i j} 𝐌_{l j} = \sum_{k = 1}^{3} \sum_{l = 1}^{3} 𝐌_{k i} G_{1, i j}^{t} 𝐌_{j l} \end{matrix}

La transformation du tenseur métrique direct par le changement de base est donc

𝐆_{2} = 𝐌 𝐆_{1}^{t} 𝐌 .

Le même raisonnement en partant de GModèle:Ind conduit à

𝐆_{1} = 𝐌^{- 1} 𝐆_{2}^{t} 𝐌^{- 1} .

Le tenseur métrique réciproque de la base 2 est

𝐆_{2}^{*} = 𝐆_{2}^{- 1} = (𝐌 𝐆_{1}^{t} 𝐌)^{- 1} =^{t} 𝐌^{- 1} 𝐆_{1}^{- 1} 𝐌^{- 1} =^{t} 𝐌^{- 1} 𝐆_{1}^{*} 𝐌^{- 1}

et celui de la base 1 est

𝐆_{1}^{*} =^{t} 𝐌 𝐆_{2}^{*} 𝐌 .

Les tenseurs métriques direct et réciproque ne se transforment pas de la même façon lors d'un changement de base. De même, les variables qui leur sont associées se comportent différemment. Modèle:Définition

Variables contravariantes

Soit un point X de coordonnées (xModèle:Ind,yModèle:Ind,zModèle:Ind) dans la base directe 1 et (xModèle:Ind,yModèle:Ind,zModèle:Ind) dans la base directe 2. Son vecteur position r s'écrit dans les deux bases :

\begin{matrix} 𝐫 = [\begin{matrix} x_{1} & y_{1} & z_{1} \end{matrix}] [\begin{matrix} 𝐚_{1} \\ 𝐛_{1} \\ 𝐜_{1} \end{matrix}] =^{t} 𝐗_{1} 𝐄_{1}, & 𝐫 = [\begin{matrix} x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} 𝐚_{2} \\ 𝐛_{2} \\ 𝐜_{2} \end{matrix}] =^{t} 𝐗_{2} 𝐄_{2} \end{matrix}

où X est le vecteur des coordonnées et E celui des vecteurs de base :

\begin{matrix} 𝐗 = [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}], & 𝐄 = [\begin{matrix} 𝐚 \\ 𝐛 \\ 𝐜 \end{matrix}] . \end{matrix}

X est une variable contravariante puisqu'elle s'exprime dans la base de l'espace direct.

En utilisant la matrice de passage M, on peut écrire

𝐫 =^{t} 𝐗_{2} 𝐌 𝐄_{1} =^{t} 𝐗_{1} 𝐄_{1},

soit

^{t} 𝐗_{2} 𝐌 =^{t} 𝐗_{1} .

En appliquant MModèle:Exp à droite des deux membres de l'égalité, on obtient finalement

\begin{matrix} ^{t} 𝐗_{2} =^{t} 𝐗_{1} 𝐌^{- 1}, & 𝐗_{2} =^{t} M^{- 1} 𝐗_{1} . \end{matrix}

Modèle:Cadre définition

Les indices d'une rangée et les composantes d'un vecteur sont aussi des variables contravariantes :

[\begin{matrix} u_{2} \\ v_{2} \\ w_{2} \end{matrix}] =^{t} M^{- 1} [\begin{matrix} u_{1} \\ v_{1} \\ w_{1} \end{matrix}] .

Variables covariantes

D'après la transformation des tenseurs métriques réciproques par changement de base, on voit que les vecteurs de base réciproques des bases 1 et 2 sont reliés par

\begin{matrix} 𝐄_{2}^{*} =^{t} 𝐌^{- 1} 𝐄_{1}^{*}, & 𝐄_{1}^{*} =^{t} 𝐌 𝐄_{2}^{*} . \end{matrix}

Le vecteur position rModèle:Exp d'un point XModèle:Exp de l'espace réciproque s'écrit dans les deux bases réciproques

\begin{matrix} 𝐫^{*} =^{t} 𝐗_{1}^{*} 𝐄_{1}^{*}, & 𝐫^{*} =^{t} 𝐗_{2}^{*} 𝐄_{2}^{*} . \end{matrix}

XModèle:Exp est une variable covariante puisqu'elle s'exprime dans la base de l'espace réciproque.

En utilisant l'expression des vecteurs de base réciproques de la base 2 en fonction de ceux de la base 1, on peut écrire

𝐫^{*} =^{t} 𝐗_{2}^{*}^{t} 𝐌^{- 1} 𝐄_{1}^{*} =^{t} 𝐗_{1}^{*} 𝐄_{1}^{*}

soit

^{t} 𝐗_{2}^{*}^{t} 𝐌^{- 1} =^{t} 𝐗_{1}^{*} .

En appliquant Modèle:ExpM à droite des deux membres de l'égalité, on obtient finalement

\begin{matrix} ^{t} 𝐗_{2}^{*} =^{t} 𝐗_{1}^{*}^{t} 𝐌, & 𝐗_{2}^{*} = 𝐌 𝐗_{1}^{*} . \end{matrix}

Modèle:Cadre définition En particulier, le vecteur primitif de la rangée réciproque [hkl]Modèle:Exp normale à un plan direct (hkl) étant une variable covariante, les indices d'un plan réticulaire se transforment par l'application de la matrice de passage M.

Applications linéaires

Soit une application linéaire f de l'espace tridimensionnel direct qui associe à tout point X repéré par le vecteur X un point X' repéré par le vecteur X'. Cette application n'implique pas de translation et peut par exemple être une opération de symétrie ponctuelle centrée sur un élément qui passe par l'origine. Elle est représentée par la matrice AModèle:Ind dans la base 1. La matrice de f dans la base 2 est notée AModèle:Ind. Les coordonnées du point X' s'obtiennent dans les deux bases par les relations matricielles suivantes :

\begin{matrix} 𝐗'_{1} = f (𝐗_{1}) = A_{1} 𝐗_{1}, & 𝐗'_{2} = f (𝐗_{2}) = A_{2} 𝐗_{2} . \end{matrix}

Connaissant la transformation des coordonnées par le changement de base de 1 vers 2, on peut écrire

𝐗'_{2} =^{t} 𝐌^{- 1} 𝐗'_{1} =^{t} 𝐌^{- 1} 𝐀_{1} 𝐗_{1} = 𝐀_{2}^{t} 𝐌^{- 1} 𝐗_{1} .

En applicant Modèle:ExpM à gauche de chaque membre de l'égalité :

𝐀_{1} 𝐗_{1} =^{t} 𝐌 𝐀_{2}^{t} 𝐌^{- 1} 𝐗_{1}

d'où

\begin{matrix} 𝐀_{1} =^{t} 𝐌 𝐀_{2}^{t} 𝐌^{- 1}, & 𝐀_{2} =^{t} 𝐌^{- 1} 𝐀_{1}^{t} 𝐌 . \end{matrix}

Si f contient une composante translatoire, son action dans les deux bases s'écrit

\begin{matrix} 𝐗'_{1} = A_{1} 𝐗_{1} + 𝐓_{1}, & 𝐗'_{2} = A_{2} 𝐗_{2} + 𝐓_{2} \end{matrix}

où TModèle:Ind et TModèle:Ind sont les composantes translatoires de f dans les bases 1 et 2. On a alors

𝐗'_{2} = 𝐀_{2}^{t} 𝐌^{- 1} 𝐗_{1} + 𝐓_{2} =^{t} 𝐌^{- 1} 𝐗'_{1} =^{t} 𝐌^{- 1} A_{1} 𝐗_{1} +^{t} 𝐌^{- 1} 𝐓_{1} .

Par identification, on trouve

\begin{matrix} 𝐀_{2} =^{t} 𝐌^{- 1} A_{1}^{t} 𝐌, & 𝐓_{2} =^{t} 𝐌^{- 1} 𝐓_{1} . \end{matrix}

Soit une application linéaire générale fModèle:Exp de l'espace réciproque qui associe à tout point XModèle:Exp un point XModèle:Exp' et pouvant contenir une composante translatoire. L'action de fModèle:Exp s'écrit dans l'ancienne base réciproque 1 et la nouvelle base réciproque 2 :

\begin{matrix} {𝐗_{1}^{*}}^{'} = A_{1}^{*} 𝐗_{1}^{*} + 𝐓_{1}^{*}, & {𝐗_{2}^{*}}^{'} = A_{2}^{*} 𝐗_{2}^{*} + 𝐓_{2}^{*} \end{matrix} .

En utilisant la transformation des coordonnées réciproques, on obtient

𝐗_{2}^{*}' = 𝐀_{2}^{*} 𝐌 𝐗_{1}^{*} + 𝐓_{2}^{*} = 𝐌 {𝐗_{1}^{*}}^{'} = 𝐌 𝐀_{1}^{*} 𝐗_{1}^{*} + 𝐌 𝐓_{1}^{*}

et par identification :

\begin{matrix} 𝐀_{2}^{*} = 𝐌 𝐀_{1}^{*} 𝐌^{- 1}, & 𝐓_{2}^{*} = 𝐌 𝐓_{1}^{*} . \end{matrix}

Changement d'origine

On considère ici un changement de système de coordonnées qui ne fait intervenir qu'un changement d'origine, par translation d'un vecteur de composantes T, de la base 1 vers la base 2. T n'est pas forcément un vecteur de réseau. Les vecteurs de base de la nouvelle base 2 sont les mêmes que ceux de l'ancienne base 1 : les composantes de T sont inchangées dans la base 2. Ceci est généralisable : les composantes d'un vecteur de translation sont invariantes par un changement d'origine de l'espace. Les indices d'une rangée [hkl] sont donc les mêmes dans les deux bases.

Comme les vecteurs de base sont égaux, les tenseurs métriques GModèle:Ind et GModèle:Ind sont identiques. D'autre part, les origines des réseaux réciproques étant celles des réseaux directs, les formules de transformation par changement d'origine sont les mêmes pour l'espace direct et pour l'espace réciproque. La rangée [hkl]Modèle:Exp normale à un plan (hkl) s'exprime donc de la même façon dans les deux bases et les indices de plans sont invariants par changement d'origine.

Les coordonnées de l'origine de la base 2 sont représentées par les vecteurs 0 dans la base 2 et T dans la base 1. Un point X de coordonnées XModèle:Ind dans la base 2 a donc pour coordonnées XModèle:Ind=XModèle:Ind+T dans la base 1, d'où XModèle:Ind=XModèle:Ind-T. Aux coordonnées d'un point dans l'ancienne base se soustraient les composantes du vecteur de translation pour trouver les coordonnées du point dans la nouvelle base.

Soit une application linéaire f de l'espace tridimensionnel direct qui associe à tout point X repéré par le vecteur X un point X' repéré par le vecteur X' et pouvant contenir une composante translatoire. L'action de f s'écrit dans les deux bases :

\begin{matrix} 𝐗'_{1} = A_{1} 𝐗_{1} + 𝐓_{1}, & 𝐗'_{2} = A_{2} 𝐗_{2} + 𝐓_{2} \end{matrix}

où TModèle:Ind et TModèle:Ind sont les composantes translatoires de f dans les bases 1 et 2. Connaissant la transformation des coordonnées par le changement de base de 1 vers 2, on peut écrire

𝐗'_{2} = 𝐀_{2} 𝐗_{2} + 𝐓_{2} = 𝐀_{2} 𝐗_{1} - 𝐀_{2} 𝐓 + 𝐓_{2} = 𝐗'_{1} - 𝐓 = 𝐀_{1} 𝐗_{1} + 𝐓_{1} - 𝐓 .

Par identification, on trouve

\begin{matrix} 𝐀_{2} = 𝐀_{1}, & 𝐓_{2} = 𝐓_{1} - 𝐓 + 𝐀_{1} 𝐓 . \end{matrix}

Généralisation

Un changement de base général peut se concevoir comme deux changements de base successifs :

un changement d'origine décrit par le vecteur de translation T ;
un changement de la longueur et de l'orientation des vecteurs de base, décrit par la matrice de passage M.

L'ordre dans lequel sont effectués les deux changements de base successifs est important. En effet, le vecteur de translation T est exprimé dans la base de départ : ses composantes ne sont pas les mêmes dans la base d'arrivée. Si on effectue d'abord le changement de base par la matrice de passage M, il faut alors appliquer ensuite une translation de vecteur Modèle:ExpMModèle:ExpT dans l'espace direct (MT dans l'espace réciproque) et non de vecteur T.

Les formules à utiliser dans le cas d'un changement de base général sont rassemblées dans le tableau ci-dessous.

	De l'ancienne base 1 vers la nouvelle base 2	De la nouvelle base 2 vers l'ancienne base 1
Vecteurs de base	$𝐄_{2} = 𝐌 𝐄_{1}$	$𝐄_{1} = 𝐌^{- 1} 𝐄_{2}$
Tenseurs métriques directs	$𝐆_{2} = 𝐌 𝐆_{1}^{t} 𝐌$	$𝐆_{1} = 𝐌^{- 1} 𝐆_{2}^{t} 𝐌^{- 1}$
Tenseurs métriques réciproques	$𝐆_{2}^{} =^{t} 𝐌^{- 1} 𝐆_{1}^{} 𝐌^{- 1}$	$𝐆_{1}^{} =^{t} 𝐌 𝐆_{2}^{} 𝐌$
Coordonnées contravariantes	$𝐗_{2} =^{t} M^{- 1} 𝐗_{1} -^{t} 𝐌^{- 1} 𝐓$	$𝐗_{1} =^{t} M 𝐗_{2} + 𝐓$
Vecteurs contravariants	$𝐕_{2} =^{t} M^{- 1} 𝐕_{1}$	$𝐕_{1} =^{t} M 𝐕_{2}$
Coordonnées covariantes	$𝐗_{2}^{} = 𝐌 𝐗_{1}^{} - 𝐌 𝐓$	$𝐗_{1}^{} = 𝐌^{- 1} 𝐗_{2}^{} + 𝐓$
Vecteurs covariants	$𝐕_{2}^{} = 𝐌 𝐕_{1}^{}$	$𝐕_{1}^{} = 𝐌^{- 1} 𝐕_{2}^{}$
Applications linéaires directes	$\begin{matrix} 𝐀_{2} =^{t} 𝐌^{- 1} 𝐀_{1}^{t} 𝐌 \\ 𝐓_{2} =^{t} 𝐌^{- 1} 𝐓_{1} -^{t} 𝐌^{- 1} 𝐓 +^{t} 𝐌^{- 1} 𝐀_{1} 𝐓 \end{matrix}$	$\begin{matrix} 𝐀_{1} =^{t} 𝐌 𝐀_{2}^{t} 𝐌^{- 1} \\ 𝐓_{1} =^{t} 𝐌 𝐓_{2} + 𝐓 -^{t} 𝐌 𝐀_{2}^{t} 𝐌^{- 1} 𝐓 \end{matrix}$
Applications linéaires réciproques	$\begin{matrix} 𝐀_{2}^{} = 𝐌 𝐀_{1}^{} 𝐌^{- 1} \\ 𝐓_{2}^{} = 𝐌 𝐓_{1}^{} - 𝐌 𝐓 + 𝐌 𝐀_{1}^{*} 𝐓 \end{matrix}$	$\begin{matrix} 𝐀_{1}^{} = 𝐌^{- 1} 𝐀_{2}^{} 𝐌 \\ 𝐓_{1}^{} = 𝐌^{- 1} 𝐓_{2}^{} + 𝐓 - 𝐌^{- 1} 𝐀_{2}^{*} 𝐌 𝐓 \end{matrix}$

Notes

↑ Il existe plusieurs conventions pour définir la matrice de passage. Celle utilisée dans ce livre considère un changement de l'ancienne base 1 vers la nouvelle base 2, avec les vecteurs de base écrits en colonne : EModèle:Ind=MEModèle:Ind. D'autres auteurs écrivent les vecteurs de base en ligne : E'Modèle:Ind=E'Modèle:IndM', ce qui s'écrit dans notre notation Modèle:ExpEModèle:Ind=Modèle:ExpEModèle:Ind Modèle:ExpM. Dans ce cas, la matrice de passage M' contient dans chaque colonne les composantes des vecteurs de la base 2 exprimées dans la base 1. Il est aussi possible de choisir la matrice de passage comme étant celle de la nouvelle base 2 vers l'ancienne base 1 : E''Modèle:Ind=M''E''Modèle:Ind, où M'' est l'inverse de la matrice de passage utilisée dans ce livre : M''=MModèle:Exp.

Modèle:Navbar

[1] Il existe plusieurs conventions pour définir la matrice de passage. Celle utilisée dans ce livre considère un changement de l'ancienne base 1 vers la nouvelle base 2, avec les vecteurs de base écrits en colonne : EModèle:Ind=MEModèle:Ind. D'autres auteurs écrivent les vecteurs de base en ligne : E'Modèle:Ind=E'Modèle:IndM', ce qui s'écrit dans notre notation Modèle:ExpEModèle:Ind=Modèle:ExpEModèle:Ind Modèle:ExpM. Dans ce cas, la matrice de passage M' contient dans chaque colonne les composantes des vecteurs de la base 2 exprimées dans la base 1. Il est aussi possible de choisir la matrice de passage comme étant celle de la nouvelle base 2 vers l'ancienne base 1 : E''Modèle:Ind=M''E''Modèle:Ind, où M'' est l'inverse de la matrice de passage utilisée dans ce livre : M''=MModèle:Exp.

[1]

Cristallographie géométrique/Changement de base

Sommaire

Bases d'origine commune

Matrice de passage

Tenseurs métriques direct et réciproque

Variables contravariantes

Variables covariantes

Applications linéaires

Changement d'origine

Généralisation

Notes

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Cristallographie géométrique/Changement de base

Bases d'origine commune

Matrice de passage

Tenseurs métriques direct et réciproque

Variables contravariantes

Variables covariantes

Applications linéaires

Changement d'origine

Généralisation

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