Cosmologie/L'évolution du rayonnement

La majorité du rayonnement dans l'univers forme un gaz de photons homogène et isotrope (nous détaillerons cette remarque quand nous aborderons le rayonnement de fond diffus cosmologique). Autrement dit, c'est un rayonnement de corps noir. Ce gaz de photons possède diverses propriétés, qui sont affectées par l'expansion : il possède une densité d'énergie, une température, et bien d'autres paramètres. Formellement, le rayonnement forme un gaz parfait, ce qui fait qu'on peut réutiliser les équations du chapitre précédent. Pour un gaz de photons, on peut prouver que $k=3$. Les équations du chapitre précédent donnent alors :

$E=3\cdot PV=3\cdot N\cdot k_{B}T$

$\frac{E}{N}=3\cdot k_{B}T$ (énergie par particule)

$\frac{E}{V}=3\cdot P=3\cdot \frac{E}{N}\cdot k_{B}T$ (densité d'énergie)

Dans la suite de ce chapitre, nous allons expliquer plus en détail quelles sont les conséquences de cela.

L'évolution de la densité d'énergie d'un gaz de photons avec l'expansion

Illustration de la loi de Planck.

Un gaz de photons est formellement décrit par la fameuse équation de Planck, que nous ne détaillerons pas ici. Celle-ci donne tout simplement la densité d'énergie des photons qui possèdent une fréquence f, dans un gaz de photons de température T. Et cette équation contient un terme, la fréquence, sensible au facteur d'échelle. Voici cette équation de Planck :

$\frac{E}{V}(f)=\frac{8\pi h}{c^3}{f}^3\frac{1}{e^{\frac{hf}{k_{B}T}}-1}$

La distribution des photons suivant leur fréquence est illustrée par le schéma de droite. Celui-ci montre que le pic d'intensité, à savoir la fréquence où le nombre de photons est maximal. Or, ce pic est proportionnel à la température moyenne du gaz de photon, d'après la relation suivante : $T=\frac{f}{2,8K_b}$.

En intégrant l'équation précédente sur toutes les fréquences, on trouve la fameuse loi de Stephan, qui donne la densité d'énergie d'un gaz de photons en fonction de sa température. Voici cette loi, avec $\alpha$ une constante, la constante de Stephan, et $T$ la température :

$\frac{E}{V}=\alpha T^4=\frac{{\pi }^2}{15}\frac{(k_{B}T{)}^4}{(\hslash c{)}^3}$

On peut la reformuler comme suit :

$\frac{E}{V}\propto T^4$

L'évolution du nombre de particules d'un gaz de photons

Des équations précédentes, il est possible de déterminer le nombre de photons par unité de volume, appelée la densité de photons par analogie avec la densité de matière, et la manière dont elle évolue avec le facteur d'échelle. Pour la calculer, il suffit de diviser la densité d'énergie par l'énergie moyenne d'un photon. On obtient alors :

$\frac{N}{V}=\frac{E/V}{E/N}=\frac{\frac{{\pi }^2}{15}\frac{(k_{B}T{)}^4}{(\hslash c{)}^3}}{3k_{B}T}$

En simplifiant, on a :

$\frac{N}{V}=\frac{{\pi }^2}{45}{\left(\frac{k_{b}T}{\hslash c}\right)}^3$

Ce qui se reformule comme suit :

$\frac{N}{V}\propto T^3$

L'évolution de la température du rayonnement avec l'expansion

L'équation précédente nous dit que :

$T^4=k\times \frac{E}{V}$

On combine alors avec le fait que la densité d'énergie du rayonnement évolue comme la quatrième puissance du facteur d'échelle, comme vu dans les chapitres sur les équations de Friedmann, quand nous avons vu l'univers dominé par le rayonnement :

$T^4=k\times \frac{E_0}{V_0}\times a^{-4}$

On peut alors remplacer le terme $k\times \frac{E_0}{V_0}$ par sa signification : c'est la puissance quatrième de la température du rayonnement observable à l'instant $t_0$.

$T^4=T_0^4\times a^{-4}$

$T=T_0\times \sqrt[4]{a^{-4}}$

$T=T_0\times a^{-1}$

La température du rayonnement diminue au même rythme que l'augmentation du facteur d'échelle. Ainsi, le rayonnement né dans les premiers instants de l'univers, refroidit progressivement au fur et à mesure que l'univers s'étend.

$T(t)=T_0\cdot \frac{a(t_0)}{a(t)}$

Malheureusement, l'équation est rarement utilisable telle quelle. En effet, les facteurs d'échelle $a(t_0)$ et $a(t)$ ne sont pas connus et ne peuvent pas se mesurer. L'idéal est de remplacer les facteurs d'échelle par une grandeur qui se mesure. Le redshift fonctionne à merveille, d'autant qu'on sait qu'il est relié au facteur d'échelle par les équations vues il y a quelques chapitres. Dans ce qui suit, on suppose que $t_0$ est l'instant d'émission de la lumière, alors que l'observation a lieu à l'instant $t$. Avec cette convention, on sait que $1+z(t)=\frac{a(t)}{a(t_0)}$. En faisant le remplacement dans l'équation précédente, on trouve :

$T(t)=\frac{T(t_0)}{1+z}$

Précisons que cette équation vient de la convention $t_0=t_{emission}$. Mais avec la convention inverse, à savoir $t_0=t_{observation}$, on trouverait l'équation inverse, à savoir :

$T(t)=T(t_0)\cdot (1+z)$