Calcul tensoriel/Notions élémentaires/composantes covariantes et contravariantes

Soit $V$ un espace vectoriel, et soit $\vec{V} \in V$ et ${e_{i}}$ une base de $V$ .

On note, avec la convention d'Einstein:

$\vec{V} = V^{i} e_{i}$

Tout simplement, les nombres $V^{i}$ sont les composantes contravariantes du vecteur $\vec{V}$ . Ce sont les composantes que l'on utilise habituellement.

Les composantes covariantes d'un vecteur sont les composantes d'un vecteur sur la base duale. On note:

$\vec{V} = V_{i} e^{i}$

ou la base ${e^{i}}$ est la base duale de ${e_{i}}$ , définie par:

$e^{i} e_{j} = δ_{j}^{i}$

Remarques:

Tous les vecteurs de la base duale sont orthogonaux à tous les vecteurs de la base de départ d'indices différents (produit scalaire nul).
Le produit scalaire entre un vecteur de la base ordinaire et un vecteur de la base duale mais de même indice cette fois, vaut 1.
On peut déduire qu'une base orthonormale est identique à sa base duale.
La base duale de la base duale est la base de départ.

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