Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Pseudo-contraction de sa dérivée partielle/Démonstration

La matrice $g^{i j}$ est l'inverse de la matrice du tenseur métrique $g_{i j}$ : $g^{i j} g_{j k} = δ_{k}^{i}$ . Profitant de la symétrie du tenseur métrique, on a $g^{i j} g_{j i} = δ_{i}^{i}$ . Or la contraction $δ_{i}^{i}$ du tenseur unité donne un entier, la dimension de l'espace. C'est donc une constante. Ainsi $g^{i j} d g_{i j} = - g_{i j} d g^{i j}$ . D'où l'expression cherchée

$g^{i j} g_{i j, k} = - g_{i j} g^{i j}_{, k}$ .

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