Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Contraction

Un tenseur d'ordre P étant donné, on obtient un tenseur d'ordre $P-2$ en sommant toutes les termes correspondant aux mêmes valeurs de deux indices donnés, l'un covariant, l'autre contravariant.

$A^{ik}=\sum _j{B}^i{}_j{}^{kj}$

Avec la convention d'Einstein, on écrit

$A^{ik}=B^i{}_j{}^{kj}$

Puisque l'on a $B^i{}_j{}^{kn}=B^i{}_{}^{mkn}{g}_{jm}$, on peut effectuer la contraction sur deux composantes contravariantes ou bien deux composantes covariantes au moyen du tenseur métrique :

$A^{ik}=B^{imkn}{g}_{mn}=B^i{}_m{}^k{}_n{g}^{mn}$