Calcul tensoriel/Espace-temps courbe/Équations d'Einstein/Relation symétrique/Démonstration

Partant de l'équation d'Einstein sous la forme

$R^{i}_{j} - \frac{1}{2} g^{i}_{j} R = \frac{8 π k}{c^{4}} T^{i}_{j}$

on obtient en contractant, puisque la contraction de $g^{i}_{j} = δ_{j}^{i}$ vaut 4 :

$- R = \frac{8 π k}{c^{4}} T$

Réinjectant cette formule dans l'Équation d'Einstein, on trouve

$R^{i j} + \frac{1}{2} \frac{8 π k}{c^{4}} g^{i j} T = \frac{8 π k}{c^{4}} T^{i j}$

d'où le résultat.

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