Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Équations de Maxwell (écriture duale)

équations de Maxwell, formules topologiques

Les équations de Maxwell peuvent être écrites dans tout système de coordonnées sous la forme

${ℱ}^{ik}{}_{;i}=0^k$

${G_{}}^{ik}{}_{;i}=0^k$

où ${ℱ}^{ik}$ et ${G_{}}^{ik}$ sont des tenseurs antisymétriques décrivant le champ électromagnétique. La première équation correspond au premier groupe des équations de Maxwell et la seconde équation correspond au second groupe. Le tenseur ${ℱ}^{ik}$ est le tenseur dual du tenseur ${F_{}}_{ik}$ de composantes $𝐄,𝐁$ :

${ℱ}^{ik}=\frac{1}{2}{*}^{iklm}{F}_{lm}$

Le tenseur ${G_{}}^{ik}$ contient à la fois le tenseur antisymétrique de composantes $\mathbf{-}𝐃,𝐇$, les charges et les courants.

Ces équations ne sont rien de plus que des équations topologiques affirmant que le flux du champ électromagnétique à travers une hypersurface fermée de l'espace temps quadridimensionnel est nul. Il manque les équations constitutives reliant les deux tenseurs.

quadrivecteur charge-courant

Les expériences physiques montrent que le champ électromagnétique est linéaire, à condition d'éliminer ou de figer les charges. Cela nous conduit à écrire $G^{ik}$ comme somme d'un terme linéaire ${G_L}^{ik}$ et d'un terme non linéaire ${G_{NL}}^{ik}$ :

$G^{ik}={G_L}^{ik}+{G_{NL}}^{ik}$.

En définissant le quadrivecteur charge-courant comme la quadri-divergence de la partie non linéaire du tenseur $G^{ik}=$ :

$j^k={G_{NL}}^{ik}{}_{;i}$

et l'équation correspondant au second groupe des équations de Maxwell devient

${G_L}^{ik}{}_{;i}=-j^k$

Comme la double dérivée covariante d'un tenseur antisymétrique est nulle, on a ${G_L}^{ik}{}_{;i;k}=0$ et donc

$j^k{}_{;k}=0$

Cette équation correspond à la loi de conservation de la charge.

équation constitutive du vide

L'équation constitutive reliant la partie linéaire de $G^{ij}$ et $F_{ik}$ est simplement

${G_L}^{ik}=\frac{1}{{\mu }_0}{F}^{ik}$

avec ${\mu }_0=4\pi 10^{-7}$ (SI).

écriture traditionnelle des équations de Maxwell

Le second groupe d'équations de Maxwell peut finalement s'écrire sous la forme traditionnelle

${F_{}}^{ik}{}_{;i}=-{\mu }_0{j}^k$

Avec le même tenseur ${F_{}}^{ik}$, le premier groupe s'écrit

${*}^{ik}{}_{lm}{F_{}}^{lm}{}_{;i}={*}^{iklm}{F}_{lm}{}_{;i}=0^k$

expression des tenseurs électromagnétiques

Pour un tenseur métrique diagonal $(-c^2,1,1,1)$, les tenseurs électromagnétiques s'écrivent

$F_{ik}=\left(\begin{array}{cccc}0& -E_x& -E_y& -E_z\\ E_x& 0& B_z& -B_y\\ E_y& -B_z& 0& B_x\\ E_z& B_y& -B_x& 0\end{array}\right)$

$F^{ik}=\left(\begin{array}{cccc}0& E_x/c^2& E_y/c^2& E_z/c^2\\ -E_x/c^2& 0& B_z& -B_y\\ -E_y/c^2& -B_z& 0& B_x\\ -E_z/c^2& B_y& -B_x& 0\end{array}\right)$

${G_L}^{ik}=\left(\begin{array}{cccc}0& D_x& D_y& D_z\\ -D_x& 0& H_z& -H_y\\ -D_y& -H_z& 0& H_x\\ -D_z& H_y& -H_x& 0\end{array}\right)$

$ic{ℱ}^{ik}=\left(\begin{array}{cccc}0& B_x& B_y& B_z\\ -B_x& 0& -E_z& E_y\\ -B_y& E_z& 0& -E_x\\ -B_z& -E_y& E_x& 0\end{array}\right)$

${G_L}_{ik}=\left(\begin{array}{cccc}0& -c^2{D}_x& c^2{D}_y& c^2{D}_z\\ c^2{D}_x& 0& H_z& -H_y\\ c^2{D}_y& -H_z& 0& H_x\\ c^2{D}_z& H_y& -H_x& 0\end{array}\right)$

$ic{{𝒢}_L}^{ik}=\left(\begin{array}{cccc}0& H_x& H_y& H_z\\ -H_x& 0& -c^2{D}_z& c^2{D}_y\\ -H_y& c^2{D}_z& 0& -c^2{D}_x\\ -H_z& -c^2{D}_y& c^2{D}_x& 0\end{array}\right)$

$j^k=\left(\begin{array}{cccc}\rho & j_x& j_y& j_z\end{array}\right)$