Calcul différentiel et intégral pour débutants/Calcul intégral : solutions des exercices

• $A$ est une constante. Calculer les dérivées des fonctions suivantes : $f(x)=Ax,g(x)=A{x}^2/2,h(x)=A{x}^3/3$

$f^{\prime }(x)=A,g^{\prime }(x)=Ax,h^{\prime }(x)=A{x}^2$

• Calculer $\underset{0}{\overset{b}{\int }}Adx$

D'après le théorème fondamental de l'analyse :

$\underset{0}{\overset{b}{\int }}Adx=\underset{0}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)dx=f(b)-f(0)=Ab$

C'est l'aire d'un rectangle de hauteur $A$ et de largeur $b$

• Calculer $\underset{0}{\overset{b}{\int }}Axdx$

$\underset{0}{\overset{b}{\int }}Axdx=\underset{0}{\overset{b}{\int }}{g}^{\prime }(x)dx=g(b)-g(0)=A{b}^2/2$

Pour $A=1$, $\underset{0}{\overset{b}{\int }}xdx=b^2/2$ est l'aire d'un demi-carré de côté $b$

Comme $f(x)=x$ représente la droite qui s'élève à 45 degrés au-dessus de l'axe horizontal, elle est la diagonale des carrés portés par les axes et l'aire située sous elle entre $x=0$ et $x=b$ est un demi-carré de côté $b$

• Calculer $\underset{0}{\overset{b}{\int }}A{x}^{2}dx$

$\underset{0}{\overset{b}{\int }}A{x}^{2}dx=\underset{0}{\overset{b}{\int }}{h}^{\prime }(x)dx=h(b)-h(0)=A{b}^3/3$

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