Calcul différentiel et intégral pour débutants/Calcul des dérivées : solutions des exercices

• Trouver les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

$f_1(x)=0,f_2(x)=5,f_3(x)=x,f_4(x)=2x,f_5(x)=3x-5,f_6(x)=x^2,f_7(x)=-4x^2,f_7(x)=-4x^2,$

$f_8(x)=-4x^2+5,f_9(x)=-x^2+2x,f_{10}(x)=x^3,f_{11}(x)=x^3/3,f_{12}(x)=x^3-9x,f_{13}(x)=x^4$

Comme $f_1$ et $f_2$ sont des constantes, $f{\text{'}}_1(x)=f{\text{'}}_2(x)=0$

Comme $f3,f_4$ et $f_5$ sont des fonctions affines, leurs dérivées sont des constantes :

$f_3(x)=1,f_4(x)=2$ et $f_5(x)=3$

On peut trouver $f{\text{'}}_6$ avec la règle de la dérivée d'un produit puisque $f_6(x)=f_3(x)\times f_3(x)$

${f_6}^{\prime }={f_3}^{\prime }{f}_3+f_{3}f{\text{'}}_3=2f_{3}f{\text{'}}_3$

Or $f{\text{'}}_3(x)=1$ donc $f{\text{'}}_6(x)=2x$

Comme $f_7=-4f_6$ on trouve $f{\text{'}}_7$ avec la règle de la dérivée d'un produit par une constante :

$f{\text{'}}_7(x)=-4f{\text{'}}_6(x)=-8x$

Comme $f_8=f_7+f_2$ on trouve $f{\text{'}}_8$ avec la règle de la dérivée d'une somme :

$f{\text{'}}_8(x)=f{\text{'}}_7(x)+f{\text{'}}_2(x)=-8x$

Comme $f_9=-f_6+f_4$, $f{\text{'}}_9=-f{\text{'}}_6+f{\text{'}}_4$ donc $f{\text{'}}_9(x)=-2x+2$

Comme $f_{10}=f_6\times f_3$, $f{\text{'}}_{10}=f{\text{'}}_6{f}_3+f_{6}f{\text{'}}_3$ donc $f{\text{'}}_{10}(x)=2x^2+x^2=3x^2$

$f{\text{'}}_{11}(x)=f{\text{'}}_{10}(x)/3=x^2$

Comme $f_{12}=f_{10}-9f_3$, $f{\text{'}}_{12}=f{\text{'}}_{10}-9f{\text{'}}_3$ donc $f{\text{'}}_{12}(x)=3x^2-9$

Comme $f_{13}=f_{10}\times f_3$, $f{\text{'}}_{13}=f{\text{'}}_{10}{f}_3+f_{10}f{\text{'}}_3$ donc :

$f{\text{'}}_{13}(x)=3x^3+x^3=4x^3$

• Vérifier que la règle de la dérivée d'un produit par une constante $(Af{)}^{\prime }=A{f}^{\prime }$ est un cas particulier de la règle du produit des dérivées $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

Comme $A$ est une constante, $A^{\prime }=0$ et $(Af{)}^{\prime }=A^{\prime }f+A{f}^{\prime }=A{f}^{\prime }$

• On veut prouver que $f{\text{'}}_n(x)=n{x}^{n-1}$ pour tout entier $n\ge 1$

$f_n$, où $n$ est un entier et $n\ge 1$ est définie par $f_n(x)=x^n$

Montrer que la formule est vraie pour $n=1$

$f_1(x)=x$ donc $f{\text{'}}_1(x)=1=1x^{(1-1)}$

Montrer que si la formule est vraie pour $n$ alors elle reste vraie pour $n+1$

$f_{n+1}=f_n\times f_1$ donc $f{\text{'}}_{n+1}=f{\text{'}}_n{f}_1+f_{n}f{\text{'}}_1$

Si on suppose que la formule est vraie pour $n$, $f{\text{'}}_n(x)=n{x}^{n-1}$ et on obtient $f{\text{'}}_{n+1}(x)=n{x}^n+x^n=(n+1)x^n$, la formule reste donc vraie pour n+1

Ces deux conditions suffisent pour conclure que la formule est vraie pour tout entier $n\ge 1$ : d'après la première condition la formule est vraie pour $n=1$, d'après la seconde condition elle est donc vraie pour $n=2$, mais encore d'après cette même condition elle est alors vraie pour $n=3$ et ainsi de suite, à l'infini.

Modèle:AutoCat