Approfondissements de lycée/SP Démonstrations

Ensemble de problèmes sur les démonstrations

1.

Pour tout

\begin{matrix} a & > & 0 \\ n + a & > & n \\ n & > & n - a \\ \sqrt{n} & > & \sqrt{n - a} \\ 1 & > & \frac{\sqrt{n - a}}{\sqrt{n}} \\ \frac{1}{\sqrt{n - a}} & > & \frac{1}{\sqrt{n}} \end{matrix}

Par conséquent

\frac{1}{\sqrt{1}}

,

\frac{1}{\sqrt{2}}

,

\frac{1}{\sqrt{3}}

...

> \frac{1}{\sqrt{n}}

Lorsque a>b et c>d, a+c>b+d (voir aussi Remplacer ceci si vous en trouvez une meilleure).

Par conséquent, nous avons :

\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} . . . . . . + \frac{1}{\sqrt{n}} > n \times \frac{1}{\sqrt{n}}

\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} . . . . . . + \frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{n}{\sqrt{n}} \times \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}

\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} . . . . . . + \frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{n \sqrt{n}}{n}

\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} . . . . . . + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}

3.

Soit la proposition

(\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2}) + . . . + (\binom{n}{n}) = 2^{n}

que nous nommons P(n)

Supposons que ceci est vrai pour un certain n, alors

(\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2}) + . . . + (\binom{n}{n}) = 2^{n}

2 \times {(\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2}) + . . . + (\binom{n}{2})} = 2^{n + 1}

{(\binom{n}{0}) + (\binom{n}{n})} + {(\binom{n}{0}) + 2 (\binom{n}{1}) + 2 (\binom{n}{2}) + . . . + 2 (\binom{n}{n - 1}) + (\binom{n}{n})} = 2^{n + 1}

{(\binom{n}{0}) + (\binom{n}{n})} + {(\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1})} + {(\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2})} + {(\binom{n}{2}) + (\binom{n}{3})} + . . . + {(\binom{n}{n - 1}) + (\binom{n}{n})} = 2^{n + 1}

Maintenant, en utilisant les identités de cette fonction :

(\binom{n}{a}) + (\binom{n}{a + 1}) = (\binom{n + 1}{a + 1})

(Note : si quelqu'un trouve des wikilivres qui ont mentionné ceci, inclure un lien ici !), nous avons :

{(\binom{n}{0}) + (\binom{n}{n})} + (\binom{n + 1}{1}) + (\binom{n + 1}{2}) + (\binom{n + 1}{3}) + . . . + (\binom{n + 1}{n}) = 2^{n + 1}

Puisque

(\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) = 1

pour tout n,

(\binom{n + 1}{0}) + (\binom{n + 1}{n + 1}) + (\binom{n + 1}{1}) + (\binom{n + 1}{2}) + (\binom{n + 1}{3}) + . . . + (\binom{n + 1}{n}) = 2^{n + 1}

(\binom{n + 1}{0}) + (\binom{n + 1}{1}) + (\binom{n + 1}{2}) + (\binom{n + 1}{3}) + . . . + (\binom{n + 1}{n}) + (\binom{n + 1}{n + 1}) = 2^{n + 1}

Par conséquent P(n) implique P(n+1), et par une simple substitution P(0) est vrai.

Par conséquent, par le principe de récurrence ou d'induction mathématique, P(n) est vrai pour tout n.

5.

Soit

P (x) = x^{n} + y^{n}

un polynôme avec x comme variable, y et n sont des constantes.

\begin{matrix} P (- y) & = & (- y)^{n} + y^{n} \\ = & - y^{n} + y^{n} (lorsque n est un entier impair) \\ = & 0 \end{matrix}

Par conséquent, par le théorème de factorisation (lien ici, svp), (x-(-y))=(x+y) est un facteur de P(x).

Puisque l'autre facteur, qui est aussi un polynôme, possède une valeur entière pour tout entier x,y et n (j'ai enlevé la partie sur la vérification de la valeur entière de tous les coefficients pour ce moment), il est maintenant évident que

\frac{x^{n} + y^{n}}{x + y}

est un entier pour toute valeur entière de x,y et n lorsque n est impair.

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