Analyse/Fonctions

Définitions

Définitions de base

Soient E et F deux ensembles.

On appelle graphe de E vers F toutes parties de $E\times F$. On appelle correspondance de E vers F le triplet $(\mathrm{\Gamma },E,F)$, où $\mathrm{\Gamma }$ est un graphe de E vers F, E l'ensemble de départ et F l'ensemble d'arrivée.

On nomme ensemble de définition de la correspondance l'ensemble : $\left\{x|x\in E\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{\exists }y,(x,y)\in \mathrm{\Gamma }\right\}$ Cet ensemble est vide si, et seulement si, $\mathrm{\Gamma }$ est vide.

On appelle graphe fonctionnel de E vers F, tout graphe $\mathrm{\Gamma }$ de E vers F, vérifiant la relation suivante : $\mathrm{\forall }x\in E,\left\{y|y\in F\mathrm{e}\mathrm{t}(x,y)\in \mathrm{\Gamma }\right\}=\mathrm{\varnothing }\mathrm{o}\mathrm{u}\left\{a\right\}$

On appelle application, ou fonction, de E vers F, toute correspondance de E vers F dont le graphe est un graphe fonctionnel et dont E est le domaine de définition

On écrira par convention : $f:E\to F$. L'ensemble $f(E)$ est appelé image de f, noté également $Imf$. ATTENTION : il ne faut pas confondre $f(x)$ qui est un élément de F, et $f$ élément de $E\times F$

Application composée

Soit E,F,G des ensembles et $f:E\to F$, $g:F\to G$. On appelle composée des applications g et f, et on note $g\circ f$, l'application $h:E\to G$, telle que $h(x)=g(f(x))$ pour tout $x\in E$. La composition est associative d'où : $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$. On note alors $h\circ g\circ f$

Caractéristiques

Soit $f:E\to F$ une application.

1) f est injective si et seulement si $\mathrm{\forall }x\in E,\mathrm{\forall }y\in E,x\ne y\Rightarrow f(x)\ne f(y)$

2) f est surjective si et seulement si $\mathrm{\forall }y\in F,\mathrm{\exists }x\in E,f(x)=y$

3) f est bijective si 1) et 2) sont vérifié

On parle éventuellement de permutation de E pour une bijection lorsque l'ensemble est fini.