Analyse/Équation différentielle

Exemples :

• $y^{\prime }+y=0$.
• $y^{\prime }-2xy=-3$.

Équation différentielle du premier ordre

Exemple :

• $y^{\prime }+2y=0$.

Équation différentielle linéaire du premier ordre

Exemples :

• $4y^{\prime }+2y=3x+1$.
• $y^{\prime }+cos(y)=0$. n'est pas une équation linéaire (voir Équation linéaire).

Résolution

Équation sans second membre

$x{y}^{\prime }-y=0$
$x{y}^{\prime }=y$
$y^{\prime }/y=1/x$
$ln|y|=ln|x|+k$
$y(x)=exp(ln|x|+k)$
$y(x)=Kx$ (avec K = K1 si x>0 ou K = -K1 si x<0) avec $K=exp(k)$

Exercices

Résoudre $x{y}^{\prime }+2y=0$ Modèle:Boîte déroulante

Équation avec second membre

$(x+1)y^{\prime }+2y=1/(x+2)$ (que l'on nomme (1))

• On y associe une équation sans second membre : $(x+1)y^{\prime }+2y=0$ (que l'on nomme (0))
• La solution générale de (1) s'obtient en ajoutant la solution générale de (0) à la solution particulière de (1).
• On résoud l'équation sans second membre (0). Cela donne la solution générale de (0).

$(x+1)y^{\prime }+2y=0$
$(x+1)y^{\prime }=-2y$
$y^{\prime }/y=-2/(x+1)$
$ln(y)=-2ln(x+1)+k$
$y(x)=exp(-2ln(x+1))exp(k)$
$y(x)=K\times 1/(x+1{)}^2$

• On cherche la solution particulière de (1). Pour cela on fait varier la constante K. $K\Rightarrow K(x)$. Ainsi $y(x)=K(x)\times 1/(x+1{)}^2$ et $y^{\prime }(x)=K^{\prime }(x)\times 1/(x+1{)}^2+K(x)\times (-2/(x+1{)}^3)$.
  On insère dans (1).
  $(x+1)[K^{\prime }(x)\times 1/(x+1{)}^2+K(x)\times (-2/(x+1{)}^3)]+2K(x)\times 1/(x+1{)}^2=1/(x+2)$
  $K^{\prime }(x)\times 1/(x+1)=1/(x+2)$
  $K^{\prime }(x)=(x+1)/(x+2)$
  or $(x+1)=(x+2)-1$
  ainsi $K^{\prime }(x)=(x+2)/(x+2)-1/(x+2)$
  $K(x)=x-ln(x+2)+k$
  
• La solution particulière de (1) est $Yp(x)=(x-ln(x+2))/(x+1{)}^2$ et la solution générale de (1) est la somme de la solution générale de (0) et de la solution particulière de (1) soit $Y(x)=K/(x+1{)}^2+(x-ln(x+2))/(x+1{)}^2$

Résolution

• On divise par $y^n$
  $A(x)y^{\prime }{y}^{-n}+B(x)y^{1-n}=C(x)$
  On pose $z(x)=y^{1-n}$
  Ainsi $z^{\prime }(x)=(1-n)y^{-n}{y}^{\prime }$
  On obtient $(A(x)z^{\prime }(x))/(1-n)+B(z)z(x)=C(x)$que l'on peut résoudre. On revient ensuite à la fonction $y(x)=(z(x){)}^{(}1/(1-n))$.

Exemple : $x{y}^{\prime }+y=y^3$ (ici y_n = y₃).

• On divise par y₃. Ainsi $x\times y^{\prime }/y^3+y/y^3=1$ ou $x{y}^{\prime }{y}^{-3}+y^{-2}=1$.
  On pose $z(x)=y^{-2}$ et $z^{\prime }(x)=-2y^{-3}{y}^{\prime }$ et on effectue le changement $x/-2\times z^{\prime }(x)+z(x)=1$
• On résout l'équation sans second membre : $x/-2\times z^{\prime }(x)+z(x)=0$
  $z^{\prime }(x)=2/x\times z(x)$
  $z^{\prime }(x)/z(x)=2/x$
  $ln(z(x))=2ln(x)+k$
  $z(x)=exp(ln(x^2)+k)=Kexp(x^2)$ avec $K=exp(k)$
• On fait varier la constante K, $K\Rightarrow K(x)$
  $z(x)=K(x)\times x^2$ et $z^{\prime }(x)=K^{\prime }(x)x^2+2K(x)$
  On insère dans (1): $x/-2[K^{\prime }(x)x^2+2K(x)x]+K(x)x^2=1$
  $-1/2\times K^{\prime }(x)x^3-K(x)x^2+K(x)x^2=1$
  $K^{\prime }(x)=-2x^{-3}$
  $K(x)=x^{-2}+C$
  Ainsi $z(x)=(-2x^{-2}+2)x^2$
  $z(x)=1+C{x}^2$
  $z(x)=1/y^2\Rightarrow y^2=1/z=1/(1+C{x}^2)$
  Si $1+C{x}^2>0$alors $y(x)=\pm 1/\sqrt{1+C{x}^2}$

Équation différentielle du deuxième ordre

Exemple :

• $x{y}^{″}-y=0$