Algèbre linéaire/Espace Vectoriel

Définition d'un espace vectoriel

$K$ représente le corps des réels ou des complexes. ($\mathrm{K}=ℝou\mathrm{K}=ℂ$)

Soit $E$ un ensemble muni d'une loi interne notée $+$ et d'une loi externe $K\times E\to E$ notée $\cdot$

Il existe 10 Axiomes pour définir un $\mathrm{K}$-e.v ($K$-espace vectoriel) :

$\begin{array}{c}+:E\times E\to E\\ (u_1,u_2)\to u_1+u_2\end{array}$$$et$$$\begin{array}{c}\cdot :\mathrm{K}\times E\to E\\ (\lambda ,u_2)\to \lambda \cdot u_2\end{array}$

$$$$$$( Loi Interne)$$$$$$$$$$$$$$$$(Loi Externe)

1. $\mathrm{\forall }(u_1,u_2)\in E^2:u_1+u_2=u_2+u_1$.
2. $\mathrm{\forall }(u_1,u_2,u_3)\in E^3:u_1+(u_2+u_3)=(u_1+u_2)+u_3$.
3. $E$ admet un élément neutre $0_E\in E$ , c'est-à-dire $\mathrm{\forall }u\in E,u+0_E=u$.
4. Tout élément $u\in E$ admet un symétrique $u^{\prime }$ tel que $u+u^{\prime }=0_E$. On note $u^{\prime }=-u$.
5. $\mathrm{\forall }u\in E:1\cdot u=u$
6. $\mathrm{\forall }(\lambda ,\mu )\in {\mathrm{K}}^2,\mathrm{\forall }u\in E:\lambda \cdot (\mu \cdot u)=(\lambda \cdot \mu )\cdot u$
7. $\mathrm{\forall }\lambda ,\in \mathrm{K},\mathrm{\forall }(u_1,u_2)\in E^2:\lambda \cdot (u_1+u_2)=\lambda \cdot u_1+\lambda \cdot u_2$
8. $\mathrm{\forall }(\lambda ,\mu ),\in {\mathrm{K}}^2,\mathrm{\forall }u\in E:(\lambda +\mu )\cdot u=\lambda \cdot u+\mu \cdot u$