Algèbre linéaire/Application linéaire

Définitions

Soit $𝕂$ un corps. Soient alors $E$ et $F$ deux $𝕂$-espaces vectoriels.

Application linéaire

L'application $u\in F^E$ est dite linéaire si et seulement si

$\mathrm{\forall }(x,y)\in E^2,u(x+y)=u(x)+u(y),$

et

$\mathrm{\forall }\lambda \in 𝕂,\mathrm{\forall }x\in E,u(\lambda x)=\lambda u(x).$

On note $ℒ(E,F)$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $F$.

Endomorphisme

Un endomorphisme est une application linéaire dont l'ensemble d'arrivée est égal à l'ensemble de départ.

L'ensemble des endomorphismes de $E$ se note $ℒ(E,E)$.

Isomorphisme

Un isomorphisme est une application linéaire bijective. Cela se traduit par :

$\mathrm{\forall }y\in F,!\mathrm{\exists }x\in E/f(x)=y$

Autrement dit, tout élément $y$ de $F$ admet un antécédent et un seul dans $E$ par $f$.

Automorphisme

Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.

Forme linéaire

Une forme linéaire est une application linéaire dont l'ensemble d'arrivée est le corps $𝕂$ (généralement, $ℝ$ ou $ℂ$). Une forme linéaire est donc une application linéaire de $ℒ(E,𝕂)$.

Noyau et Image d'une application linéaire

Noyau

Soit $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$. Le noyau de $f$, noté $\mathrm{Ker}(f)$, est l'ensemble des éléments de $E$ dont l'image par $f$ est l'élément nul de $F$. On écrit :

$\mathrm{Ker}(f)=\{x\in E|f(x)=0_F\}$

Le noyau d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ : $\mathrm{Ker}(f)$ est un sev de $E$.

Image

L'image d'une application linéaire $f$ de $E$ dans $F$, noté $\mathrm{Im}(f)$, est l'ensemble des éléments de $F$ ayant un antécédent par $f$ dans $E$. On écrit :

$\mathrm{Im}(f)=\{y\in F,\mathrm{\exists }x\in E|f(x)=y\}$

L'image d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée : $\mathrm{Im}(f)$ est un sev de $F$.

Théorème du rang

Le théorème du rang lie la dimension de l'espace de départ d'une application linéaire aux dimensions du noyau et de l'image de cette application. On écrit :

$\dim (E)=\dim (\mathrm{Ker}(f))+\dim (\mathrm{Im}(f)),avec\dim (\mathrm{Im}(f))=\mathrm{rank}(f)$