Algèbre différentielle

Dérivations

Dérivation sur une algèbre

Soit $k$ un corps commutatif et $A$ une algèbre sur $k$.

Un endomorphisme $d\in End(A)$, c'est-à-dire une application $k$-linéaire de $A$ dans elle-même, est appelé dérivation si on a

(Règle de Leibniz) $d(fg)=d(f)g+fd(g)$ pour tout $f,g\in A$.

L'ensemble des dérivations de $A$ se note $De{r}_k(A)$ ou $Der(A)$ lorsqu'aucune confusion n'est à craindre.

On vérifie immédiatement que la somme de deux dérivations est une dérivation, ainsi que le produit d'une dérivation par un élément de $A$, donc que $Der(A)$ est un sous-module de $End(A)$. La composée de deux dérivations n'étant pas, en général, une dérivation, il ne forme pas, sauf cas trivial, une algèbre. Par contre, le crochet $[d,d^{\prime }]=d{d}^{\prime }-d^{\prime }d$ de deux dérivations $d$ et $d^{\prime }$ est une dérivation. Donc $Der(A)$ est une sous-algèbre de Lie de $End(A)$.

Pour tout $f\in A$, le commutateur $ad(f):A⟶A$, aussi appelé endomorphisme adjoint et défini par $ad(f)(g)=fg-gf$ est une dérivation. On défini ainsi un morphisme d'espace vectoriel $ad:A⟶Der(A)$.

Une dérivation du type $ad(f)$, c'est-à-dire dans l'image de $ad$, est dite intérieure. En réécrivant la règle de Liebnitz, on vérifie que dire que $d$ est une dérivation, est équivalent à dire que $[d,ad(f)]=ad(d(f))$ pour tout $f\in A$. Il en résulte que l'ensemble des dérivations intérieures est un idéal de $Der(A)$.

Les éléments annulés par toutes les dérivations $C^{te}=\{f\in A|\mathrm{\forall }d\in Der(A),d(f)0=\}$ forment une sous-algèbre de $A$, appelé algèbre des constantes de $A$. Si $A$ est unifère, on vérifie que $1\in C^{te}$ et donc que $k\subset C^{te}$

Exemples

• $A=k$ est une algèbre. Comme une dérivation $d$ est linéaire, on a en même temps $d(fg)=fd(g)$ et $d(fg)=d(f)g+fd(g)$, donc $d(f)g=0$ pour tout $g$. En particulier, pour $g=1$, ce qui est possible car $k$ est un coprs, on a $d(f)=0$, donc $De{r}_k(k)=0$.

• Soit $A=M_{n\times n}(k)$ est l'algèbre des martices carrées d'ordre $n$ sur $k$. Un théorème d'algèbre de Lie permet d'affirmer que toute dérivation de $A$ est de la forme $d(X)=MX-XM=[M,X]=ad(M)(X)$ pour une certaine matrice $M$. En d'autres termes, l'adjonction $ad:A⟶Der(A)$ est un morphisme surjectif (de noyau le sous-espace des homothéties).

• Si $A=k[X]$ est une algèbre de polynômes en une indérerminée, alors la dérivée $d(f)=f^{\prime }=\frac{d}{dx}$ est une dérivation. Nous verrons plus loin que c'est la seule, à un facteur multiplicatif près, et que $Der(k[X])=A\cdot \frac{d}{dx}$.

• Soit $X$ une variété differentiable et $A=C^{\mathrm{\infty }}(X)$ l'algèbre des fonctions infiniment différentiables sur $X$. Nous identifierons plus loin $Der(A)$ à l'espace tangent.