Algèbre/Fonctions et applications

Dans ce chapitre, nous allons commencer par introduire la notion d'application comme une notion primitive, ensuite nous définirons une application comme une relation. Nous nous intéresserons à des types d'application, à des applications particulières et donnerons leurs propriétés.

Applications

Définition intuitive d'une application

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Définitions :

Une application, d'un ensemble E dans un ensemble F (ou de E vers F) est une correspondance, qui à tout élément x de E associe un et un seul élément y de l'ensemble F. y est appelé l'image de x par f et se note f(x).
x est un antécédent de y par f.
E s'appelle l'ensemble de départ ou l'ensemble de définition de f, et F l'ensemble d'arrivée.
L'application f de E dans F se note

$\begin{array}{cccc}f:& E& \to & F\\ & x& \mapsto & f(x)\end{array}$ ou $f:E\to F$ ou encore $f:x\mapsto f(x)$

La partie G formée des couples de E × F de la forme (x, f(x)) où x parcourt l'ensemble E s'appelle le graphe de f. Nous avons donc $G=\{(x,y)\in E\times F\mid y=f(x)\}$

Une représentation graphique de f est une représentation du graphe de f.

L'ensemble des applications de E dans F se note habituellement $𝒜(E,F)$ ou $F^E$ ou $ℱ(E,F)$.
Si E=F, l'ensemble des applications de E dans E se note plus simplement $𝒜(E)$ ou $E^E$ ou $ℱ(E)$.

Remarques :

1. Souvent la notion d'application est confondue avec celle de fonction.
2. L'image d'un élément x par f est aussi appelée la valeur de f en x.
3. Pour tout x élément de E, f(x) est un élément de F, et ne représente pas l'application f. Il ne faut en aucun cas confondre l'application f, avec l'image par f d'un élément. Ceux qui considèrent que f(x) est une fonction de la variable x, devraient se poser la question suivante:

pour f=exp, si x prend la valeur 2, f(x) est-elle toujours une fonction ?

1. Si f est une application de E dans F alors nous avons la propriété

$\mathrm{\forall }x\in E,\mathrm{\exists }!y\in F,y=f(x)$

Définition (égalité des applications):

Deux applications $f:E\to F$ et $g:E^{\prime }\to F^{\prime }$ sont dites égales si les trois propriétés suivantes sont vérifiées

1. E=E' (même ensemble de départ)
2. F=F' (même ensemble d'arrivée)
3. pour tout x, f(x)=g(x).

Application et relation

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Définitions :

Un graphe fonctionnel dans $E\times F$ est une partie $G$ de $E\times F$ telle que pour tout $x\in E$, il existe au plus un élément $y\in F$ tel que $(x,y)\in G$.

Une fonction est un triplet $f=(E,F,G)$, où $G$ est un graphe fonctionnel dans $E\times F$. Si $f=(E,F,G)$ est une fonction, si $(x,y)\in G$, on note $f(x)$ pour $y$. On dit alors que $x$ est un antécédent de $y$ par $f$, et que $y$ est l'image de $x$ par $f$. Une application est une fonction telle que tout $x\in E$ admet une image $y=f(x)\in F$.

Exemples d'applications

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Définition :

Soit E un ensemble quelconque. L'application identité de E (ou application identique de E) est l'application de E dans E, notée ${\mathrm{id}}_E$, définie par

$\mathrm{\forall }x\in E,{\mathrm{id}}_E(x)=x$.

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques. Une application f de E dans F est dite constante s'il existe un élément a de F, tel que pour tout x de E, on ait f(x)=a, c'est-à-dire si

$\mathrm{\exists }a\in F,\mathrm{\forall }x\in E,f(x)=a$.

Exemples :

• $\begin{array}{ccc}ℝ& \to & ℝ\\ x& \mapsto & x^2-x\end{array}$ est une application.
• $\begin{array}{ccc}{ℝ}^2& \to & ℝ\\ (x,y)& \mapsto & x^2+xy\end{array}$ est une application.

Définition :

Soit A une partie d'un ensemble quelconque E. Nous appelons application caractéristique de A (ou fonction indicatrice de A), l'application de E dans {0, 1} notée ${\chi }_A$ ou définie par

${\chi }_A(x)=\{\begin{array}{ccc}1& si& x\in A\\ 0& si& x\in ̸A\end{array}$.

Prolongements et restrictions

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À partir d'une application donnée, nous pouvons créer d'autres applications en remplaçant simplement l'ensemble de départ ou d'arrivée par un sous-ensemble ou un sur-ensemble de cet ensemble.

Restriction d'une application

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit E' une partie de E. Nous appelons la restriction de f à E', l'application g de E' dans F qui à tout x de E' associe f(x) i.e. telle que

$\mathrm{\forall }x\in E^{\prime },g(x)=f(x)$

Cette application g est habituellement notée $f_{|E^{\prime }}$.

Exemple :

L'application $\exp :ℝ\to ℝ$ peut être restreinte à ${ℝ}^{*}$ en l'application $\begin{array}{ccc}{ℝ}^{*}& \to & ℝ\\ x& \mapsto & e^x\end{array}$.

Prolongements d'une application

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit E' un ensemble contenant E. Nous appelons un prolongement de f à E', toute application g de E' dans F dont la restriction à E est égale à f, i.e. telle que

$\mathrm{\forall }x\in E,g(x)=f(x)$

Remarque :

Il existe en général plusieurs prolongements d'une même application.

Exemples :

1. Les applications $\begin{array}{cccc}{g}_1:& [0,1]& \to & ℝ\\ & x& \mapsto & x\end{array}$ et $\begin{array}{cccc}{g}_2:& [0,1]& \to & ℝ\\ & x& \mapsto & \{\begin{array}{ccc}x& \mathrm{s}\mathrm{i}& x\ne 0\\ 1& \mathrm{s}\mathrm{i}& x=0\end{array}\end{array}$
   sont des prolongements à [0, 1] de l'application $\begin{array}{cccc}f:& ]0,1]& \to & ℝ\\ & x& \mapsto & x\end{array}$.
2. sin est un prolongement à $ℝ$ de l'application $\begin{array}{cccc}f:& [0,2\pi [& \to & ℝ\\ & x& \mapsto & \sin x\end{array}$.

Restriction de l'ensemble d'arrivée

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit F' une partie de F. Il est possible de restreindre l'ensemble d'arrivée de l'application f, pour former une application g de E dans F' qui à un élément x de E associe f(x), à condition que tout élément x de E ait une image dans F' (i.e. l'image de f soit incluse dans F').
Dans ce cas l'application g se note $f^{|F^{\prime }}$

Extension de l'ensemble d'arrivée

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit F' un ensemble contenant F. Nous pouvons toujours considérer l'application g de E dans F' qui à un élément x de E associe f(x).

Composition des applications

Définition :

Soient E, F et G trois ensembles quelconques. Soit f une application de E dans F et g une application de F dans G. La composée de f par g est l'application de E dans G notée $g\circ f$ qui à tout x de E associe g(f(x)), i.e. l'application définie par

$\mathrm{\forall }x\in E,(g\circ f)(x)=g(f(x))$.

Exemple :

Considérons les applications $\begin{array}{cccc}f:& ℝ& \to & ℝ\\ & x& \mapsto & e^x\end{array}$ et $\begin{array}{cccc}g:& ℝ& \to & ℝ\\ & x& \mapsto & x^2\end{array}$. Alors les composées de f par g et de g par f sont les applications $\begin{array}{cccc}g\circ f:& ℝ& \to & ℝ\\ & x& \mapsto & (e^x{)}^2=e^{2x}\end{array}$ et $\begin{array}{cccc}f\circ g:& ℝ& \to & ℝ\\ & x& \mapsto & e^{(x^2)}=e^{x^2}\end{array}$.

Exercice :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Déterminer

$f\circ {\mathrm{Id}}_E$ et ${\mathrm{Id}}_F\circ f$

Remarque :

En général nous n'avons pas $g\circ f=f\circ g$.

Définition :

Soient E un ensemble quelconque, f et g deux applications de $𝒜(E)$. Nous disons que f et g commutent (pour la composition des applications) si $g\circ f=f\circ g$.

Remarque :

Soient E un ensemble quelconque, et f une application de $𝒜(E)$. Nous avons

$f\circ {\mathrm{Id}}_E={\mathrm{Id}}_E\circ f=f$

et donc ${\mathrm{Id}}_E$ commute avec toute application de $𝒜(E)$.

Proposition (associativité de la loi de composition) :

Soient E, F, G et H quatre ensembles quelconques. Soient $f:E\to F$, $g:F\to G$ et $h:G\to H$ trois applications. Alors nous avons

$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$.

Démonstration :

$h\circ (g\circ f)$ et $(h\circ g)\circ f$ sont bien des applications de E dans H et nous avons

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{\forall }x\in E,& [h\circ (g\circ f)](x)& =& h((g\circ f)(x))& \mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{e}g\circ f\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}h\\ & & =& h(g(f(x)))& \mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{e}f\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}g\\ & & =& (h\circ g)(f(x))& \mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{e}g\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}h\\ & & =& [(h\circ g)\circ f](x)& \mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{e}f\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}h\circ g\end{array}$

Notation :

Cette application composée de f par g par h, se note simplement $h\circ g\circ f$.

Définitions :

Soit E un ensemble quelconque.

1. Soit f une application de $𝒜(E)$. Nous convenons de poser $f^0={\mathrm{Id}}_E$.
2. Soient $f_1,f_2,\dots ,f_n$, n applications de $𝒜(E)$ ($n\in {\mathbb{N}}^{*}$). La composée de $f_1$ par $f_2$, par ..., par $f_n$ notée $f_n\circ (f_{n-1}\circ \dots \circ (f_2\circ f_1))$ se définit par récurrence et d'après la proposition précédente, les parenthèses sont inutiles, nous pouvons noter ce produit plus simplement $f_n\circ f_{n-1}\circ \dots \circ f_1$.
3. Soient f une application de $𝒜(E)$, et $n\in {\mathbb{N}}^{*}$. En particulier (pour $f_1=\dots =f_n=f$), nous obtenons la composée de f par elle-même n fois qui se note $f^n$. Celle-ci vérifie
   $\begin{array}{cc}{f}^n=f^{n-1}\circ f=& \underbrace{f\circ f\circ \dots \circ f}\\ & n\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\end{array}$

Exercice :

On considère l'application $\begin{array}{cccc}f:& {ℝ}^2& \to & {ℝ}^2\\ & (x,y)& \mapsto & (y,x)\end{array}$. Déterminer pour tout entier naturel n, fⁿ.

Applications injectives, surjectives, bijectives

Les types d'applications

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Définitions :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\to F$ une application.

• Nous disons que f est une application injective ou est une injection si deux éléments quelconques de E ayant même image par f sont nécessairement égaux, c'est-à-dire
  $\mathrm{\forall }x,x^{\prime }\in E,f(x)=f(x^{\prime })\Rightarrow x=x^{\prime }$.
• Nous disons que f est une application surjective ou est une surjection si tout élément y de F possède au moins un antécédent par f, c'est-à-dire
  $\mathrm{\forall }y\in F,\mathrm{\exists }x\in E,y=f(x)$.
• Nous disons que f est une application bijective ou est une bijection si elle est à la fois injective et surjective.

Notations :

Nous notons Inj(E, F), Surj(E, F), Bij(E, F) l'ensemble des injections, surjections, et bijections de E vers F.

Proposition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F.

• f est dite injective si et seulement si deux éléments distincts quelconques de E ont des images distinctes, c'est-à-dire
  $\mathrm{\forall }x,x^{\prime }\in E,x\ne x^{\prime }\Rightarrow f(x)\ne f(x^{\prime })$
  (contraposée de l'implication de la définition de l'injectivité.)
• f est injective si et seulement si tout élément y de F possède au plus un antécédent par f.
• f est injective si et seulement si pour tout élément y de F l'équation d'inconnue x, f(x)=y admet au plus une solution dans E.
• f est surjective si et seulement si pour tout élément y de F l'équation d'inconnue x, f(x)=y admet au moins une solution dans E.
• f est bijective si et seulement si tout élément y de F possède un unique antécédent par f, c'est-à-dire
  $\mathrm{\forall }y\in F,\mathrm{\exists }!x\in E,y=f(x)$.
• f est bijective si et seulement si pour tout élément y de F l'équation d'inconnue x, f(x)=y admet une unique solution dans E.

Propriétés immédiates :

• La composée de deux applications injectives est injective.
• La composée de deux applications surjectives est surjective.
• La composée de deux applications bijectives est bijective.

Proposition :

Soient E, F et G trois ensembles et des applications $f:E\to F$, $g:F\to G$.

• $g\circ f$ injective implique que f injective.
• $g\circ f$ surjective implique que g surjective.

Application réciproque d'une application bijective

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Définition (application réciproque d'une bijection) :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\to F$ une application bijective.

L'application de F dans E, qui à tout élément de l'ensemble d'arrivée de f, associe son unique antécédent par f se note f^-1 et s'appelle l'application réciproque de f.

Théorème :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\to F$ une bijection. Alors l'application réciproque f^-1 de f vérifie

$\mathrm{\forall }x\in E,\mathrm{\forall }y\in F,x=f^{-1}(y)\iff y=f(x)$

De plus

$f^{-1}\circ f={\mathrm{id}}_E$ et $f\circ f^{-1}={\mathrm{id}}_F$

L'application f^-1 est bijective et nous avons

${\left(f^{-1}\right)}^{-1}=f$ (l'application réciproque de f^-1 est f)

Démonstration :

...

Remarque :

L'application réciproque d'une application bijective étant aussi bijective, elle est aussi appelée bijection réciproque de f.

Théorème :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\to F$ une application de E dans F. Alors f est bijective si et seulement si il existe une application $g:F\to E$ telle que $g\circ f={\mathrm{id}}_E$ et $f\circ g={\mathrm{id}}_F$. Dans le cas où f est bijective, nous avons g=f^-1.

Définition (application involutive) :

Soient E un ensemble quelconque et f dans $𝒜(E)$. f est dite involutive si $f\circ f={\mathrm{id}}_E$.

Remarque :

D'après le théorème précédent, f est bijective et nous avons $f^{-1}=f$. (f est sa propre bijection réciproque).

Exemples :

• L'application identité d'un ensemble quelconque est involutive.
• L'application $\begin{array}{ccc}{ℝ}^{*}& \to & {ℝ}^{*}\\ x& \mapsto & \frac{1}{x}\end{array}$ est involutive.
• L'application $\begin{array}{ccc}ℂ& \to & ℂ\\ x& \mapsto & \bar{x}\end{array}$ est involutive.
• Soit E un ensemble quelconque et $𝒫(E)$ l'ensemble des parties de E. L'application $\begin{array}{ccc}𝒫(E)& \to & 𝒫(E)\\ X& \mapsto & \bar{X}\end{array}$ ($\bar{X}$ étant le complémentaire de X dans E) est une involution de $𝒫(E)$.
  • L'application $\begin{array}{ccc}{ℝ}^3& \to & {ℝ}^3\\ (x,y,z)& \mapsto & (y,x,z)\end{array}$ est une involution de ${ℝ}^3$.

Image directe, image réciproque d'une partie par une application

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\to F$ une application.

Soit A une partie de E, nous appelons image directe de A par f l'ensemble des éléments de F de la forme f(x) où x parcourt A, c'est-à-dire l'ensemble des éléments y de F tels qu'il existe un élément x de A tel que y=f(x). Cette image directe se note f(A), et nous avons

$f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}$ ou $f(A)=\{y\in F\mid \mathrm{\exists }x\in A,y=f(x)\}$.

Dans le cas particulier où A=E, l'ensemble f(E) est l'ensemble des images de tous les éléments de l'ensemble de définition de f, et s'appelle l'ensemble des valeurs de f, ou image de f et se note im f ou im(f).

Propriétés immédiates :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\to F$ une application.

• $f(\mathrm{\varnothing })=\mathrm{\varnothing }$ (il n'y a pas d'image d'élément de l'ensemble vide puisque l'ensemble vide n'a pas d'élément)
• Soit x un élément de E. Si A={x}, alors f(A)={f(x)}.

Remarques :

• L'image directe d'une partie par une application est une partie de l'ensemble d'arrivée et non un élément de cet ensemble.
• Il ne faut surtout pas confondre l'image directe d'une partie avec l'image d'un élément ou l'image d'une application.

Proposition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\to F$ une application.
f est surjective si et seulement si f(E)=F.

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\to F$ une application. Soit B une partie de F, nous appelons image réciproque de la partie B par f, l'ensemble des x de l'ensemble de définition X tels que f(x) appartienne à B, c'est-à-dire l'ensemble de tous les antécédents de tous les éléments de B. Cette image réciproque se note $f^{-1}(B)$ ou parfois (B). Nous avons donc

$f^{-1}(B)=\{x\in E\mid f(x)\in B\}$

Remarques :

• La notation utilisée pour désigner l'image réciproque d'une partie par une application est trompeuse puisque f^-1 peut faire penser à l'application réciproque (qui n'existe que dans le cas où f est bijective). En considérant $f^{-1}(Y)$, nous devons donc examiner si Y est une partie de l'ensemble d'arrivée auquel cas il s'agit bien d'une image réciproque, ou si Y est un élément de l'ensemble d'arrivée auquel cas il s'agit de l'image par l'application réciproque $f^{-1}$ de l'élément Y de F, ce qui exige que f soit bijective.
• Si B se réduit à un seul élément b, alors l'ensemble :$f^{-1}(\{b\})$ s'écrit parfois $f^{-1}(b)$, mais nous n'utiliserons jamais cet abus.

Propriétés immédiates :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\to F$ une application.

• $f^{-1}(\mathrm{\varnothing })=\mathrm{\varnothing }$
• $f^{-1}(F)=E$, car f est une application et tous les éléments de E ont une image dans F.
• Pour tout y de F, $f^{-1}(\{y\})$ est l'ensemble de tous les antécédents de y par f.
  Si f est bijective, alors $f^{-1}(\{y\})=\{f^{-1}(y)\}$, puisque dans ce cas le seul antécédent de y est $f^{-1}(y)$.

Propriétés :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\to F$ une application quelconque.

• $\mathrm{\forall }A\in 𝒫(E),\mathrm{\forall }{A}^{\prime }\in 𝒫(E),A\subset A^{\prime }\Rightarrow f(A)\subset f(A^{\prime })$ (croissance de l'image directe)
• $\mathrm{\forall }A\in 𝒫(E),\mathrm{\forall }{A}^{\prime }\in 𝒫(E),f(A\cup A^{\prime })=f(A)\cup f(A^{\prime })$
• $\mathrm{\forall }A\in 𝒫(E),\mathrm{\forall }{A}^{\prime }\in 𝒫(E),f(A\cap A^{\prime })\subset f(A)\cap f(A^{\prime })$
• $\mathrm{\forall }B\in 𝒫(F),\mathrm{\forall }{B}^{\prime }\in 𝒫(F),B\subset B^{\prime }\Rightarrow f^{-1}(B)\subset f^{-1}(B^{\prime })$ (croissance de l'image réciproque)
• $\mathrm{\forall }B\in 𝒫(F),\mathrm{\forall }{B}^{\prime }\in 𝒫(F),f^{-1}(B\cup B^{\prime })=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B^{\prime })$
• $\mathrm{\forall }B\in 𝒫(F),\mathrm{\forall }{B}^{\prime }\in 𝒫(F),f^{-1}(B\cap B^{\prime })=f^{-1}(B)\cap f^{-1}(B^{\prime })$
• $\mathrm{\forall }B\in 𝒫(F),f^{-1}\left({\complement }_{F}B\right)={\complement }_E{f}^{-1}(B)$
• $\mathrm{\forall }A\in 𝒫(E),A\subset f^{-1}(f(A))$
• $\mathrm{\forall }B\in 𝒫(F),f(f^{-1}(B))\subset B$
• $\mathrm{\forall }A\in 𝒫(E),\mathrm{\forall }B\in 𝒫(F),A\subset f^{-1}(B)\iff f(A)\subset B$

Propositions :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\to F$ une application quelconque.

• $f\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\iff \mathrm{\forall }A\in 𝒫(E),\mathrm{\forall }{A}^{\prime }\in 𝒫(E),f(A\cap A^{\prime })=f(A)\cap f(A^{\prime })$
• $f\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\iff \mathrm{\forall }A\in 𝒫(E),A=f^{-1}(f(A))$
• $f\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{\forall }B\in 𝒫(F),f(f^{-1}(B))=B$
• $f\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\iff \mathrm{\forall }A\in 𝒫(E),f\left({\complement }_{E}A\right)={\complement }_{F}f(A)$

Familles

Étant donné un ensemble E quelconque, nous voulons indicer certains éléments de E, pas forcément avec des entiers naturels comme avec les suites, mais avec les éléments d'un ensemble I d'indices. Nous allons donc définir une famille d'éléments de E comme une application de I dans E, ce qui va permettre d'attribuer à des éléments de E plusieurs indices.

Définition :

Soient E et I deux ensembles. Nous appelons famille d'éléments de E indexée par I, toute application de I dans E. L'ensemble I s'appelle ensemble des indices. Si $x:i⟼x(i)$ est une famille, nous notons x_i l'image de i par x et $(x_i{)}_{i\in I}$ cette famille.

Si I est une partie de $\mathbb{N}$, alors la famille est une suite.

Si I est un ensemble fini, alors la famille est dite finie.

Si E est remplacé par $𝒫(E)$, alors x est appelée une famille de parties de E.

Remarque :

Attention, une famille n'est pas nécessairement injective, et donc deux indices différents peuvent être attribués à un même élément de E.

Définition :

Soient E un ensemble quelconque et I un ensemble d'indices. Soit A une partie de E, l'injection

$\begin{array}{cccc}\iota :& A& \to & E\\ & x& \mapsto & x\end{array}$

est une famille indexée par A et se note généralement $(x{)}_{x\in A}$. Elle est appelée famille canoniquement associée à la partie A.

Opérations sur les familles

Définition :

Soient E un ensemble quelconque et I un ensemble d'indices. Soit $(A_i{)}_{i\in I}$ une famille de parties de E.

• Nous appelons réunion de la famille $(A_i{)}_{i\in I}$, l'ensemble $\{x\in E\mid \mathrm{\exists }i\in I,x\in A_i\}$, noté $\bigcup _{i\in I}{A}_i$.
• Nous appelons intersection de la famille $(A_i{)}_{i\in I}$, l'ensemble $\{x\in E\mid \mathrm{\forall }i\in I,x\in A_i\}$, noté $\bigcap _{i\in I}{A}_i$.

Changement d'indice

Proposition :

Soient E un ensemble quelconque et $(A_i{)}_{i\in I}$ une famille quelconque de parties de E, et soit $s:J\to I$ une application surjective de J sur I. Nous avons

1. $\bigcup _{j\in J}{A}_{s(j)}=\bigcup _{i\in I}{A}_i$
2. $\bigcap _{j\in J}{A}_{s(j)}=\bigcap _{i\in I}{A}_i$

Associativité

Proposition :

Soient E un ensemble quelconque et $(A_i{)}_{i\in I}$ une famille quelconque de parties de E, et soit $(J_k{)}_{k\in K}$ une famille de parties non vides de I telle que la réunion soit égale à I. Nous avons alors

1. $\bigcup _{i\in I}{A}_i=\bigcup _{k\in K}\bigcup _{i\in J_k}{A}_i$
2. $\bigcap _{i\in I}{A}_i=\bigcap _{k\in K}\bigcap _{i\in J_k}{A}_i$

Distributivité

Proposition :

Soient E un ensemble quelconque, $(A_i{)}_{i\in I}$ une famille quelconques de parties de E et A une partie de E. Nous avons

1. $A\cap \left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)=\bigcup _{i\in I}(A\cap A_i)$
2. $A\cup \left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)=\bigcap _{i\in I}(A\cup A_i)$

Distributivité généralisée

Proposition :

Soient E un ensemble quelconque, $(A_i{)}_{i\in I}$ et $(B_j{)}_{j\in J}$ deux familles quelconques de parties de E. Nous avons

1. $\left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)\cup \left(\bigcap _{j\in J}{B}_j\right)=\bigcap _{(i,j)\in I\times J}(A_i\cup B_j)$
2. $\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)\cap \left(\bigcup _{j\in J}{B}_j\right)=\bigcup _{(i,j)\in I\times J}(A_i\cap B_j)$

Passage au complémentaire

Proposition (lois de Morgan):

Soient E un ensemble quelconque, $(A_i{)}_{i\in I}$ une famille quelconques de parties de E. Nous avons

1. ${\complement }_E\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)=\bigcap _{i\in I}{\complement }_E{A}_i$
2. ${\complement }_E\left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)=\bigcup _{i\in I}{\complement }_E{A}_i$

Recouvrement, partition

Définition (recouvrement d'un ensemble) :

Soit E un ensemble quelconque et $(A_i{)}_{i\in I}$ une famille quelconque de parties de E. Nous disons que cette famille forme un recouvrement de E si la réunion des parties de la famille est égale à E, c'est-à-dire si

$\bigcup _{i\in I}{A}_i=E$.

Définition (partition d'un ensemble) :

Soit E un ensemble quelconque et $(A_i{)}_{i\in I}$ une famille quelconque de parties de E. Nous disons que cette famille constitue une partition de E si les propositions suivantes sont vérifiées

1. aucune des parties $A_i$ n'est vide, c'est-à-dire $\mathrm{\forall }i\in I,A_i\ne \mathrm{\varnothing }$,
2. les parties $A_i$ sont deux à deux disjointes, c'est-à-dire $\mathrm{\forall }(i,j)\in I^2,i\ne j\Rightarrow A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }$,
3. la réunion des parties de la famille est égale à E, c'est-à-dire $\bigcup _{i\in I}{A}_i=E$.

Image directe et image réciproque

Proposition :

Soient E et F deux ensembles quelconques, f une application de E dans F, $(A_i{)}_{i\in I}$ une famille quelconque de parties de E et $(B_j{)}_{j\in J}$ une famille quelconque de parties de F. Nous avons

1. $f\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)=\bigcup _{i\in I}f(A_i)$
2. $f\left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)\subset \bigcap _{i\in I}f(A_i)$
3. $f^{-1}\left(\bigcup _{j\in J}{B}_j\right)=\bigcup _{j\in J}{f}^{-1}(B_j)$
4. $f^{-1}\left(\bigcap _{j\in J}{B}_j\right)=\bigcap _{j\in J}{f}^{-1}(B_j)$

Application caractéristique

Soient E et F deux ensembles quelconques. Soient f et g deux applications quelconques de E dans F. Dès lors que l'ensemble F est muni d'une addition ou d'une multiplication, il est possible de définir la somme des applications f et g, comme l'application de E dans F, qui à un élément x de E associe f(x)+g(x) et le produit des applications f et g, comme l'application de E dans F qui à un élément x de E associe, f(x).g(x).

Considérons l'ensemble {0, 1} et munissons cet ensemble d'une addition et d'une multiplication définies par

+	0	1
0	0	1
1	1	0

×	0	1
0	0	0
1	0	1

Définition :

Nous convenons de poser -1=1 et -0=0.
Pour x dans {0, 1}, et pour tout entier relatif n, notons

$\begin{array}{ccc}n.x& =& \underbrace{x+x+\dots +x}\\ & & |n|\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\end{array}$ (|n| désigne la valeur absolue de n)

Proposition :

Soit E un ensemble quelconque, f et g deux applications de $𝒜(E,\{0,1\})$ et n un entier relatif. Les applications f+g, f.g et n.f définies par

$\begin{array}{cccc}f+g:& E& \to & \{0,1\}\\ & x& \mapsto & f(x)+g(x)\end{array}$

$\begin{array}{cccc}f.g:& E& \to & \{0,1\}\\ & x& \mapsto & f(x).g(x)\end{array}$.

$\begin{array}{cccc}n.f:& E& \to & \{0,1\}\\ & x& \mapsto & n.f(x)\end{array}$

appartiennent à $𝒜(E,\{0,1\})$.

Théorème :

Soit E un ensemble quelconque. L'application $\chi$ qui à une partie A de E associe l'application caractéristique de A est bijective de $𝒫(E)$ dans $𝒜(E,\{0,1\})$.

Corollaire :

Deux parties A et B de E sont égales si et seulement si leurs applications caractéristiques sont égales.

Propriétés :

Soient A et B deux parties d'une ensemble quelconque E. Nous avons les égalités suivantes :

• ${\chi }_{\bar{A}}=1-{\chi }_A$
• ${\chi }_{A\cap B}={\chi }_A{\chi }_B$
• ${\chi }_{A\cup B}={\chi }_A+{\chi }_B-{\chi }_A{\chi }_B$
• ${\chi }_{A\mathrm{\setminus }B}={\chi }_A(1-{\chi }_B)$
• Si les parties A et B sont disjointes alors ${\chi }_{A\cup B}={\chi }_A+{\chi }_B$
• ${\chi }_{A\mathrm{\Delta }B}={\chi }_A+{\chi }_B-2{\chi }_A{\chi }_B=({\chi }_A-{\chi }_B{)}^2$

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