Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Dérivée partielle

Partant de la définition du tenseur métrique

$g_{ij}={𝐞}_i\cdot {𝐞}_j$

on calcule sa dérivée partielle

$g_{ij,l}={𝐞}_{i,l}\cdot {𝐞}_j+{𝐞}_i\cdot {𝐞}_{j,l}$

qui s'exprime au moyen du symbole de Christoffel

$g_{ij,l}={\mathrm{\Gamma }}_{j|li}+{\mathrm{\Gamma }}_{i|lj}=g_{jm}{\mathrm{\Gamma }}_{li}^m+g_{im}{\mathrm{\Gamma }}_{lj}^m$