Calcul tensoriel/Géodésiques/Équation géodésique/Paramétrisation canonique/Démonstration

Explicitant $\dot{s}$ dans l'équation géodésique $\frac{\partial \dot{s}}{\partial x^l}-\frac{d}{d\tau }\left(\frac{\partial \dot{s}}{\partial {\dot{x}}^l}\right)=0$, on a

$\frac{1}{2\dot{s}}{g}_{ij,l}{\dot{x}}^i{\dot{x}}^j-\frac{d}{d\tau }\left(\frac{1}{\dot{s}}{g}_{li}{\dot{x}}^i\right)=0$

Paramétrisons la trajectoire par sa longueur s, c'est à dire posons $\tau =s$. Avec ce choix, on a $\dot{s}=1$ et l'équation géodésique devient

$\frac{1}{2}{g}_{ij,l}{\dot{x}}^i{\dot{x}}^j-\frac{d}{ds}\left(g_{li}{\dot{x}}^i\right)=0$

Comme le tenseur métrique dépend de $x^i$ mais pas explicitement de ${\dot{x}}^i$, on a $\frac{d{g}_{li}}{ds}=g_{li,j}\frac{d{x}^j}{ds}$ et l'équation géodésique prend la forme

$\frac{1}{2}{g}_{ij,l}{\dot{x}}^i{\dot{x}}^j-g_{li,j}{\dot{x}}^i{\dot{x}}^j-g_{li}{\ddot{x}}^i=0$

Multipliant par $g^{kl}$, on obtient

$g^{kl}(\frac{1}{2}{g}_{ij,l}{\dot{x}}^i{\dot{x}}^j-g_{li,j}{\dot{x}}^i{\dot{x}}^j)-{\ddot{x}}^k=0$

et donc

${\ddot{x}}^k=g^{kl}(\frac{1}{2}{g}_{ij,l}-g_{li,j}){\dot{x}}^i{\dot{x}}^j$