Calcul tensoriel/Espace-temps plan/Référentiel tournant II

Changement de coordonnées

Partant d'un référentiel galiléen plan en coordonnées circulaires$t^{\prime },r^{\prime },{\varphi }^{\prime }$, construisons un référentiel tournant avec la fréquence angulaire $\omega$. La transformation s'écrit

$\begin{array}{ccc}{t}^{\prime }& =& t\\ r^{\prime }& =& r\\ {\varphi }^{\prime }& =& \varphi +\omega t\end{array}$

Tenseur métrique

De la relation $-c^{2}dt{\text{'}}^2+dr{\text{'}}^2+r{\text{'}}^{2}d\varphi {\text{'}}^2=g_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$ est facile d'obtenir le tenseur métrique dans le référentiel tournant. Il n'est pas diagonal :

$\begin{array}{ccc}{g}_{tt}& =& -c^2+{\omega }^2{r}^2\\ g_{t\varphi }=g_{\varphi t}& =& \omega r^2\\ g_{rr}& =& 1\\ g_{\varphi \varphi }& =& r^2\end{array}$

Déterminant du tenseur métrique

$\det g=-c^2{r}^2$

Matrice inverse du tenseur métrique

$\begin{array}{ccc}{g}^{tt}& =& -c^{-2}\\ g^{t\varphi }=g^{\varphi t}& =& c^{-2}\omega \\ g^{rr}& =& 1\\ g^{\varphi \varphi }& =& r^{-2}-c^{-2}{\omega }^2\end{array}$

Dérivées partielles du tenseur métrique

$\begin{array}{ccc}{g}_{tt,r}& =& 2{\omega }^{2}r\\ g_{t\varphi ,r}=g_{\varphi t,r}& =& 2\omega r\\ g_{\varphi \varphi ,r}& =& 2r\end{array}$

Symbole de Christoffel

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{\Gamma }}_{t|tr}={\mathrm{\Gamma }}_{t|rt}& =& {\omega }^{2}r\\ {\mathrm{\Gamma }}_{t|r\varphi }={\mathrm{\Gamma }}_{t|\varphi r}& =& \omega r\\ {\mathrm{\Gamma }}_{r|tt}& =& -{\omega }^{2}r\\ {\mathrm{\Gamma }}_{r|t\varphi }={\mathrm{\Gamma }}_{\varphi |\varphi t}& =& -\omega r\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\varphi |tr}={\mathrm{\Gamma }}_{\varphi |rt}& =& \omega r\\ {\mathrm{\Gamma }}_{r|\varphi \varphi }& =& -r\\ {\mathrm{\Gamma }}_{r|r\varphi }={\mathrm{\Gamma }}_{\varphi |\varphi r}& =& r\end{array}$

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{\Gamma }}_{tt}^r& =& -{\omega }^{2}r\\ {\mathrm{\Gamma }}_{t\varphi }^r={\mathrm{\Gamma }}_{\varphi t}^r& =& -\omega r\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\varphi \varphi }^r& =& -r\\ {\mathrm{\Gamma }}_{tr}^{\varphi }={\mathrm{\Gamma }}_{rt}^{\varphi }& =& \omega r^{-1}\\ {\mathrm{\Gamma }}_{r\varphi }^{\varphi }={\mathrm{\Gamma }}_{\varphi r}^{\varphi }& =& r^{-1}\end{array}$