Calcul tensoriel/Espace-temps courbe/Équations d'Einstein/Relation symétrique/Démonstration

Partant de l'équation d'Einstein sous la forme

$R^i{}_j-\frac{1}{2}{g}^i{}_{j}R=\frac{8\pi k}{c^4}{T}^i{}_j$

on obtient en contractant, puisque la contraction de $g^i{}_j={\delta }_j^i$ vaut 4 :

$-R=\frac{8\pi k}{c^4}T$

Réinjectant cette formule dans l'Équation d'Einstein, on trouve

$R^{ij}+\frac{1}{2}\frac{8\pi k}{c^4}{g}^{ij}T=\frac{8\pi k}{c^4}{T}^{ij}$

d'où le résultat.