Calcul tensoriel/Appendices/Symbole de Levi-Civita d'ordre N

Définition

Le symbole de Levi-Civita d'ordre N, ${ϵ}_{i_1{i}_2\dots i_N}$, aussi appelé pseudo-tenseur complètement antisymétrique d'ordre N, est une généralisation du symbole de Levi-Civita d'ordre 3.

Chaque index peut prendre une valeur quelconque parmi N. Ce symbole principalement vaut 0, sauf si la liste des index est formée de N valeurs distinctes. Dans ce cas, le symbole vaut 1 ou -1, le changement de signe correspondant à une permutation impaire de la liste des index.

Supposons par exemple que la liste des index soit t, x, y, z pour définir un symbole d'ordre 4. Il y a apriori $4^4=256$ valeurs possibles du symbole. Le symbole ${ϵ}_{ttxz}$ vaut 0 parce que l'index t figure deux fois. Si arbitrairement on choisit le signe + pour ${ϵ}_{txyz}$, alors on aura ${ϵ}_{txzy}=-1$, ${ϵ}_{tyxz}=+1$, ${ϵ}_{tyzx}=-1$, etc. 4!/2 = 12 valeurs valent +1, 12 valeurs valent -1.

Tenseur dualiseur

Le symbole de Levi-Civita d'ordre N n'est pas un tenseur. Ses composantes ne dépendent du système de coordonnées choisi, et par convention ${ϵ}^{i_1{i}_2\dots i_N}={ϵ}_{i_1{i}_2\dots i_N}$. En revanche, un simple facteur de normalisation basé sur le déterminant du tenseur métrique permet de définir le tenseur dualiseur, ou tenseur de Levi-Civita.

${\displaystyle }$