Voir la source de Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Calcul intégral

=== Notion d'intégrale ===

* Si <math>f</math> est une fonction définie sur <math>[a,b]</math>, où <math>\scriptstyle a \in \mathbb R</math> et <math>\scriptstyle b \in \mathbb R</math> :<br />on appelle <math>\scriptstyle \int_a^b f(t)\, \mathrm dt</math> la somme algébrique des aires situées entre les droites verticales <math>x=a</math>, <math>x=b</math>, l'axe <math>\scriptstyle (O,\vec{i})</math> et la courbe <math>\scriptstyle \mathcal C\!f</math>.


* <math>\forall c \in [a,b] ~ : ~ \int_a^b f(t)\, \mathrm dt = \int_a^c f(t)\, \mathrm dt + \int_c^b f(t)\, \mathrm dt</math>


* Si <math>f</math> est une fonction paire, alors : <math>\int_{-a}^a f(t)\, \mathrm dt = 2 \int_0^a f(t)\, \mathrm dt</math>


* Si <math>f</math> est une fonction impaire, alors : <math>\int_{-a}^a f(t)\, \mathrm dt = 0</math>


* Linéarité de l'intégrale :
** si <math>f</math> et <math>g</math> sont définies sur <math>[a,b]</math> : <math>\int_a^b f(t)\, \mathrm dt + \int_a^b g(t)\, \mathrm dt = \int_a^b (f(t)+g(t))\, \mathrm dt</math>
** si <math>\scriptstyle \lambda \in \mathbb R</math>, alors : <math>\int_a^b [\lambda \cdot f(t)]\, \mathrm dt = \lambda \cdot \int_a^b f(t)\, \mathrm dt</math>


* <math>\int_{a}^a f(x)\, \mathrm dx = 0</math><br /><math>\int_a^b f(x)\, \mathrm dx = - \int_b^a f(x)\, \mathrm dx</math>


* Si <math>\scriptstyle f(x) \leqslant g(x)</math> sur <math>[a,b] (a<b)</math><br />alors <math>\int_a^b f(x)\, \mathrm dx \leqslant \int_a^b g(x)\, \mathrm dx</math>


* Si <math>\scriptstyle \forall x \in [a,b]</math>, on a : <math>m \leqslant f(x) \leqslant M</math><br />alors <math>m(b-a) \leqslant \int_a^b f(x)\, \mathrm dx \leqslant M(b-a)</math>



=== Primitives ===

* Si <math>f</math> est une fonction continue sur un intervalle <math>[a,b]</math>, on peut définir la fonction <math> F(x) = {\scriptstyle\int}_a^x f(t)\, \mathrm dt</math> de telle sorte que <math>F</math> soit dérivable et <math> F'(x) = f(x) \; \forall x \in [a,b]</math>. De plus, <math>F(a)=0</math>.<br />La fonction <math>F</math> est alors l''''unique''' primitive de <math>f</math> qui s'annule en <math>x=a</math>.


* Si <math>F</math> est une fonction dérivable sur <math>[a,b]</math> et si <math>F'(x)=f(x)</math> pour tout <math>x \in [a,b]</math>, alors <math>f</math> est '''une''' primitive de <math>f</math> sur <math>[a,b]</math>.


* Si <math>F</math> et <math>G</math> sont 2 primitives d'une même fonction <math>f</math> sur <math>[a,b]</math> alors <math>F</math> et <math>G</math> diffèrent d'une constante, c'est-à-dire qu'il existe <math>\lambda \in \mathbb R</math> tel que <math> \forall x \in [a,b] ~ : ~ F(x) - G(x) = \lambda.</math>

* Réciproquement, si <math>F</math> et <math>G</math> sont dérivables sur <math>[a,b]</math> et diffèrent d'une constante sur <math>[a,b]</math>, alors <math>F</math> et <math>G</math> sont primitives d'une même fonction <math>f</math> sur <math>[a,b]</math>, qui n'est autre que leur dérivée.


* Une même fonction <math>f</math> admet une infinité de primitives sur <math>[a,b]</math> mais ces primitives diffèrent les unes des autres par des constantes.

=== Primitives : propriétés opératoires ===

* Si <math>h(x) = f(x) + g(x)</math>, alors <math>H(x) = F(x) + G(x) + \lambda</math>

* Si <math>\scriptstyle h(x) = \mu \, g(x)</math> (où <math>\scriptstyle \mu \in \mathbb R</math>), alors <math>\scriptstyle H(x) = \mu \, G(x) + \lambda</math>

=== Primitives à connaître ===

{| class="wikitable" style="text-align:center; width:80%;"
|+ Primitives à connaître
|-
! scope=col | Validité
! scope=col | <math>f</math>
! scope=col | <math>F</math>
|-
| scope=row | <math> n \;\in\; \mathbb R \setminus \{-1\}</math>
| <math>\displaystyle x^n</math>
| <math>\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}+\lambda</math>
|-
| scope=row | cas particulier<br /><math>n=-1</math>
| <math>\displaystyle \frac 1 x</math>
| <math>\displaystyle \ln |x| + \lambda</math>
|-
| rowspan=7 |  
| <math>\displaystyle \sin x</math>
| <math>\displaystyle - \cos x + \lambda</math>
|-
| <math>\displaystyle \cos x</math>
| <math>\displaystyle \sin x + \lambda</math>
|-
| <math>\displaystyle \frac 1 {\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x</math>
| <math>\displaystyle \tan x + \lambda</math>
|-
| <math>\displaystyle e^x</math>
| <math>\displaystyle e^x + \lambda</math>
|-
| <math>\displaystyle \sin (ax+b)</math>
| <math>\displaystyle -\frac 1 a \cdot \cos(ax+b) + \lambda</math>
|-
| <math>\displaystyle \cos (ax+b)</math>
| <math>\displaystyle \frac 1 a \cdot \sin(ax+b) + \lambda</math>
|-
| <math>\displaystyle e^{ax+b}</math>
| <math>\displaystyle \frac 1 a \cdot e^{ax+b} + \lambda</math>
|}


{| class="wikitable" style="text-align:center; width:80%;"
|-
! scope=col | Validité
! scope=col | <math>f</math>
! scope=col | <math>F</math>
|-
| scope=row | <math>\scriptstyle n \;\in\; \mathbb R \setminus \{-1\} </math><br/><math> u \text{ dérivable}</math>
| <math>\displaystyle u' \cdot u^n</math>
| <math>\displaystyle \frac{u^{n+1}}{n+1}+\lambda</math>
|-
| <math> u \text{ dérivable} </math><br/><math> u \neq 0 </math>
| <math>\displaystyle \frac{u'}u</math>
| <math>\displaystyle \ln |u| + \lambda</math>
|-
| <math> u \text{ dérivable}</math>
| <math>\displaystyle u' \cdot e^u</math>
| <math>\displaystyle e^u + \lambda</math>
|}

=== Calcul d'intégrales ===
* '''Théorème fondamental de l'analyse''' (version équivalente): si <math>f</math> est une fonction admettant <math>F</math> pour primitive, alors <math>\int_a^b f(t)\, \mathrm dt = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)</math>.

* Formule d''''intégration par parties''' : si <math>u</math> et <math>v</math> sont deux fonctions pour lesquelles les expressions suivantes ont un sens, alors <math>\int_a^b uv' = [uv]_a^b - \int_a^b u'v</math>.




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