Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Calcul intégral

Notion d'intégrale

• Si $f$ est une fonction définie sur $[a,b]$, où $a\in ℝ$ et $b\in ℝ$ :
  on appelle ${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t$ la somme algébrique des aires situées entre les droites verticales $x=a$, $x=b$, l'axe $(O,\overrightarrow{i})$ et la courbe $𝒞f$.

• $\mathrm{\forall }c\in [a,b]:\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(t)\mathrm{d}t+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$

• Si $f$ est une fonction paire, alors : $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=2\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$

• Si $f$ est une fonction impaire, alors : $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=0$

• Linéarité de l'intégrale :
  • si $f$ et $g$ sont définies sur $[a,b]$ : $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(t)\mathrm{d}t=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(t)+g(t))\mathrm{d}t$
  • si $\lambda \in ℝ$, alors : $\underset{a}{\overset{b}{\int }}[\lambda \cdot f(t)]\mathrm{d}t=\lambda \cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$

• $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=0$
  $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

• Si $f(x)⩽g(x)$ sur $[a,b](a<b)$
  alors $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x⩽\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x$

• Si $\mathrm{\forall }x\in [a,b]$, on a : $m⩽f(x)⩽M$
  alors $m(b-a)⩽\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x⩽M(b-a)$

Primitives

• Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$, on peut définir la fonction $F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ de telle sorte que $F$ soit dérivable et $F^{\prime }(x)=f(x)\mathrm{\forall }x\in [a,b]$. De plus, $F(a)=0$.
  La fonction $F$ est alors l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $x=a$.

• Si $F$ est une fonction dérivable sur $[a,b]$ et si $F^{\prime }(x)=f(x)$ pour tout $x\in [a,b]$, alors $f$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$.

• Si $F$ et $G$ sont 2 primitives d'une même fonction $f$ sur $[a,b]$ alors $F$ et $G$ diffèrent d'une constante, c'est-à-dire qu'il existe $\lambda \in ℝ$ tel que $\mathrm{\forall }x\in [a,b]:F(x)-G(x)=\lambda .$

• Réciproquement, si $F$ et $G$ sont dérivables sur $[a,b]$ et diffèrent d'une constante sur $[a,b]$, alors $F$ et $G$ sont primitives d'une même fonction $f$ sur $[a,b]$, qui n'est autre que leur dérivée.

• Une même fonction $f$ admet une infinité de primitives sur $[a,b]$ mais ces primitives diffèrent les unes des autres par des constantes.

Primitives : propriétés opératoires

• Si $h(x)=f(x)+g(x)$, alors $H(x)=F(x)+G(x)+\lambda$

• Si $h(x)=\mu g(x)$ (où $\mu \in ℝ$), alors $H(x)=\mu G(x)+\lambda$

Primitives à connaître

Primitives à connaître

Validité	$f$	$F$
$n\in ℝ\setminus \{-1\}$	$x^n$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+\lambda$
cas particulier $n=-1$	$\frac{1}{x}$	$\ln |x|+\lambda$
	$\sin x$	$-\cos x+\lambda$
	$\cos x$	$\sin x+\lambda$
	$\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$	$\tan x+\lambda$
	$e^x$	$e^x+\lambda$
	$\sin (ax+b)$	$-\frac{1}{a}\cdot \cos (ax+b)+\lambda$
	$\cos (ax+b)$	$\frac{1}{a}\cdot \sin (ax+b)+\lambda$
	$e^{ax+b}$	$\frac{1}{a}\cdot e^{ax+b}+\lambda$

Validité	$f$	$F$
$n\in ℝ\setminus \{-1\}$ $u\text{ dérivable}$	$u^{\prime }\cdot u^n$	$\frac{u^{n+1}}{n+1}+\lambda$
$u\text{ dérivable}$ $u\ne 0$	$\frac{u^{\prime }}{u}$	$\ln |u|+\lambda$
$u\text{ dérivable}$	$u^{\prime }\cdot e^u$	$e^u+\lambda$

Calcul d'intégrales

• Théorème fondamental de l'analyse (version équivalente): si $f$ est une fonction admettant $F$ pour primitive, alors $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=[F(x){]}_a^b=F(b)-F(a)$.

• Formule d'intégration par parties : si $u$ et $v$ sont deux fonctions pour lesquelles les expressions suivantes ont un sens, alors $\underset{a}{\overset{b}{\int }}u{v}^{\prime }=[uv{]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}^{\prime }v$.