Voir la source de Manuel de géométrie vectorielle/Colinéarité

<noinclude>{{NavTitre2
 | book = Manuel de géométrie vectorielle
 | prev = Multiplication d'un vecteur par un nombre
 | next = Bases et repères du plan
}}</noinclude>

== Colinéarité de deux vecteurs du plan ==

[[Image:Définition colinearité.svg|thumb|372px|
<math>d\,</math> et <math>d'\,</math> sont parallèles : on dit que les vecteurs <math>\vec u</math> et <math>\vec v</math> sont colinéaires]]

La notion de colinéarité pour les vecteurs est l'équivalent de la notion de parallélisme pour les droites :

{{Cadre définition
  | contenu =
* Deux vecteurs non nuls <math>\vec{u}</math> et <math>\vec{v}</math> sont dit '''colinéaires''' s'ils ont la même direction
* Le vecteur nul <math>\overrightarrow{0}</math> est colinéaire à tous les vecteurs du plan.
}}

En observant le dessin de la définition précédente on constate que <math>\vec u = -2\vec v</math>. De manière générale, on a la propriété :

{{Propriété
  | contenu=
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel <math>\lambda\,</math> tel que :
:<math>\vec{u}=\lambda.\vec{v}</math> ou bien <math>\vec{v}=\lambda.\vec{u}</math>
}}

== Application de la colinéarité ==

=== Colinéarité et alignement ===

Prenons trois points alignés A, B et C comme sur le dessin suivant :

<div style="text-align: center;">[[Fichier:Colinéarité et alignement.svg|class=transparent]]</div>

Les droites <math>\rm (AB)</math> et <math>\rm (AC)</math> sont parallèles, donc d'après la définition de deux vecteurs colinéaires, les vecteurs <math>\overrightarrow{\rm AB}</math> et <math>\overrightarrow{\rm AC}</math> sont colinéaires.

Ceci prend la forme de la propriété suivante, qui malgré sa simplicité est d'un grand intérêt pour résoudre des problèmes géométriques à l'aide de vecteurs.

{{Théorème
  | contenu=
* Si trois points A, B et C sont alignés, alors les vecteurs <math>\overrightarrow{\rm AB}</math> et <math>\overrightarrow{\rm AC}</math> sont colinéaires.
* Si les vecteurs <math>\overrightarrow{\rm AB}</math> et <math>\overrightarrow{\rm AC}</math> sont colinéaires, alors les points A, B et C sont alignés}}

=== Colinéarité et parallélisme ===

Cette autre propriété est une conséquence directe de la définition de vecteurs colinéaires.

<div style="text-align: center;">[[Fichier:Colinéarité et parallèles.svg|class=transparent]]</div>

Les droites <math>\rm (AB)</math> et <math>\rm (CD)</math> sont parallèles, ce qui d'après la définition correspond à la colinéarité des vecteurs <math>\overrightarrow{\rm AB}</math> et <math>\overrightarrow{\rm CD}</math>

{{Théorème
  | contenu =
* Si les droites <math>\rm (AB)</math> et <math>\rm (CD)</math> sont parallèles, alors les vecteurs <math>\overrightarrow{\rm AB}</math> et <math>\overrightarrow{\rm CD}</math> sont colinéaires.
* Si les vecteurs <math>\overrightarrow{\rm AB}</math> et <math>\overrightarrow{\rm CD}</math> sont colinéaires, alors les droites <math>\rm (AB)</math> et <math>\rm (CD)</math> sont parallèles
}}

Là encore, malgré son apparente simplicité, cette propriété est d'un grand intérêt pour ramener un problème de géométrie à un problème de vecteurs.

== Propriété ==
{{ Théorème
| contenu=
Soit <math>\overrightarrow{\rm u}</math>(x;y) et <math>\overrightarrow{\rm v}</math>(x',y') deux vecteurs aux coordonnées non nulles.
<math>\overrightarrow{\rm u}</math> et <math>\overrightarrow{\rm v}</math> sont colinéaires si et seulement si xy'-x'y = 0 }}

== Exercices ==

=== Points définis par une relation vectorielle ===
{{exercices}}
On considère trois points A(2,0), B(2,2) et C(0,-3),

:dans le plan muni d'un repère <math>(O,\vec{i},\vec{j})</math>.

''NB : on choisira de petites unités, par exemple {{Unité|0.5|cm}} pour une feuille A4.''

'''1.''' Placer le point E défini par : <math>\vec{AE}=5\vec{AB}-4\vec{AC}</math>

'''2.''' Déterminer les coordonnées de E par le calcul.

'''3.''' Placer le point F défini par : <math>\vec{AF}=2\vec{AB}+\frac{3}{2}\vec{AC}</math>

'''4.''' Déterminer les coordonnées de F par le calcul.

{{solution}}
{{...}}
{{fin}}

=== Alignement ===
{{exercices}}
Dans le plan muni d'un repère <math>(O,\vec{i},\vec{j})</math>,

:on donne les points <math>A(3,-1)\,</math> et <math>C(-1,2)\,</math>.

Soient B et D tels que :

<math>\vec{OB}=-3\vec{OA}</math>

<math>\vec{OD}=-3\vec{OC}</math>

'''1.''' Démontrer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

'''2.''' Soit M le milieu de [BD] et N celui de [AC]. Déterminer les coordonnées de M et N.

'''3.''' Démontrer qu'O, M et N sont alignés.

{{solution}}
{{...}}
{{fin}}

=== Combinaison linéaire ===
{{exercices}}
On définit trois vecteurs du plan par leurs coordonnées dans une base <math>(\vec{i},\vec{j})</math>.

<math>\vec{v_1}\binom{1}{2}</math> <math>\vec{v_2}\binom{-3}{0}</math> <math>\vec{v_3}\binom{-1}{-1}</math> 

'''1.''' Déterminer les coordonnées de : 

<math>\vec{w}=3\vec{v_1}-2\vec{v_2}+5\vec{v_3}\,</math>

'''2.''' <math>\vec{v_1}</math> peut-il s'écrire sous la forme :

<math>\vec{v_1}=x\vec{v_2}+y\vec{v_3}\,</math>

où ''x'' et ''y'' sont des nombres réels ?

{{solution}}
{{...}}
{{fin}}

=== Alignement et colinéarité ===
{{exercices}}
Soit A, B et C trois points non alignés.

'''1.''' Construire le point D tel que  : 

<math>\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{AB}</math>

'''2.''' Exprimer <math>\overrightarrow{CD}</math> en fonction de <math>\overrightarrow{CA}</math> et <math>\overrightarrow{AB}</math>.

'''3.''' Démontrer que les points B, C et D sont alignés.

{{solution}}
{{...}}
{{fin}}

=== Milieu ===
{{exercices}}
Soit A et B deux points distincts, et I le milieu de [AB].

'''1.''' Expliquer pourquoi <math>\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}</math> en utilisant les mots ''norme'',''direction'', ''sens''.

'''2.''' En partant de <math>\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}</math>, démontrer que : <math>\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}</math>

'''3.''' En partant de <math>\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}</math>, démontrer que : <math>\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}</math>

{{solution}}
{{...}}
{{fin}}

=== Trapèze ===
{{exercices}}
On considère dans un repère orthonormé les points :

<math>A(-2;-2) ; B(0;2) ; C(3;3) et D(7;1)\,</math>


''La figure n'est pas exigée, néanmoins il est conseillé de la faire au moins au brouillon.
''

1. '''Démontrer''' que les vecteurs <math>\overrightarrow{AD}</math> et <math>\overrightarrow{BC}</math> sont colinéaires.

2. '''Déterminer''' le réel <math>k</math> tel que : 

<math>\overrightarrow{AD}=k.\overrightarrow{BC}</math>.

3. En '''déduire''' que le quadrilatère ABCD est non croisé.

4. '''Démontrer''' que les segments <math>[AB]</math> et <math>[CD]</math> ont même longueur.

5. '''Conclure''' quant à la nature du quadrilatère ABCD en récapitulant les différentes informations.

{{solution}}
{{...}}
{{fin}}

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}}</noinclude>