Invariants intégraux/Cartan1922/002

Par rapport à la section précédente, on permet que la trajectoire diffère aux extrémités, en position aussi bien spatiale que temporelle. À la variation $\delta S$ déjà calculée, il faut rajouter le terme

$(\frac{1}{2}m({\dot{x}}_1^2+{\dot{y}}_1^2+{\dot{z}}_1^2)-V_1)\delta t_1-(\frac{1}{2}m({\dot{x}}_0^2+{\dot{y}}_0^2+{\dot{z}}_0^2)-V_0)\delta t_0$

ainsi que le terme

$m(\dot{x}\delta x+\dot{y}\delta y+\dot{z}\delta z){|}_{t_0}^{t_1}$

Pour calculer ce terme, on remarque que la variation de l'extrémité $\delta x_1$ est la somme de la variation de la trajectoire $\delta x{|}_{t_1}$ et de ${\dot{x}}_1\delta t_1$, et par suite

$\dot{x}\delta x{|}_{t_0}^{t_1}={\dot{x}}_1(\delta x_1-{\dot{x}}_1\delta t_1)-{\dot{x}}_0(\delta x_0-{\dot{x}}_0\delta t_0)$

On peut finalement écrire

$\delta S={\omega }_{\delta }{|}_0^1-\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}((m\ddot{x}+\frac{\partial V}{\partial x})\delta x+(m\ddot{y}+\frac{\partial V}{\partial y})\delta y+(m\ddot{z}+\frac{\partial V}{\partial z})\delta z)dt$

avec ${\omega }_{\delta }=m\dot{x}(\delta x-\dot{x}\delta t)+m\dot{y}(\delta y-\dot{y}\delta t)+m\dot{z}(\delta z-\dot{z}\delta t)+(\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)-V)\delta t$ ou

${\omega }_{\delta }=m\dot{x}\delta x+m\dot{y}\delta y+m\dot{z}\delta z-(\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)+V)\delta t$

La variation de l'action entre trajectoires réelles se réduit donc à

$\delta S={\omega }_{\delta }{|}_1-{\omega }_{\delta }{|}_0$

En considérant une famille de trajectoires formant un tube de l'espace-temps, la somme $\delta S$ est nulle et les intégrales sur les deux courbes fermées de l'espace-temps à chaque extrémité du tube sont égales. On a

$\underset{1}{\int }{\omega }_{\delta }=\underset{0}{\int }{\omega }_{\delta }$