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https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0CC BY-SA 3.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 truetrue

Parametric form of the spiral is:

${\displaystyle fx[t]=pitch*(1+t)*cos[2\pi t]}$

${\displaystyle fy[t]=pitch*(1+t)*sin[2\pi t]}$

From the arc length formula:

${\displaystyle {\begin{aligned}length&=\int _{0}^{turn}{\sqrt {fx'[t]^{2}+fy'[t]^{2}}}\,dt\\&=\int _{0}^{turn}pitch{\sqrt {\left(1+4\pi ^{2}(1+t)^{2}\right)}}\,dt\\&={\frac {pitch\left(u{\sqrt {1+u^{2}}}+ArcSinh[u]-2\pi {\sqrt {1+4\pi ^{2}}}-ArcSinh[2\pi ]\right)}{4\pi }}\end{aligned}}}$

where

${\displaystyle u=2\pi (1+turn)}$

This gives:

${\displaystyle pitch={\frac {4\pi length}{u{\sqrt {1+u^{2}}}+log\left[u+{\sqrt {1+u^{2}}}\right]-42.51258829641819}}}$