Les suites et séries/Les sous-suites (suites extraites)

Dans les chapitres précédents, nous avons vu des suites lambda et quelques opérations que l'on peut faire sur celles-ci. Mais nous avons volontairement omis de parler d'une opération assez simple : l'extraction. Cette opération permet de créer une nouvelle suite à partir d'une suite donnée en opérande. Elle prend une suite et n'en garde qu'une partie des termes, les autres étant retirés de la suite. L'extraction est définie par une fonction, la fonction extractrice, qui détermine quels sont les termes à conserver et ceux à oublier. Le résultat de cette opération d'extraction est appelée une sous-suite ou encore une suite extraite (sous-entendu, extraite d'une suite donnée).

La définition formelle d'une suite extraite est la suivante :

Une suite $(v_n)$ est une sous-suite de $(u_n)$ si il existe une fonction strictement croissante $f:N\to N$ (la fonction extractrice) telle que : $v_n=u_{f(n)}$

Prenons quelques exemples, pour que vous compreniez mieux cette définition.

• Supposons que l'on veuille ne conserver que les rangs pairs de la suite $(u_n)$. Dans ce cas, la fonction extractrice est la fonction : $f:f(n)=2\cdot n$, ce qui donne : $v_n=u_{2\cdot n}$, qui ne conserve que les rangs pairs.
• Supposons maintenant que l'on veuille ne conserver que les rangs impairs de la suite $(u_n)$. Dans ce cas, la fonction extractrice est la fonction : $f:f(n)=2\cdot n+1$, ce qui donne : $v_n=u_{2\cdot n+1}$, soit seulement les rangs impairs.

La convergence d'une sous-suite

Si une suite converge vers L, toutes ses sous-suites convergent vers la même limite.

Les sous-suites de suites bornées

Les sous-suites ont quelques propriétés intéressantes, et les suites bornées sont de loin les plus intéressantes à étudier.

Extraction d'une sous-suite monotone

Une première propriété intéressante est celle-ci :

De toute suite bornée, on peut extraire une suite monotone.

Le théorème de Bolzano-Weierstrass

Le théorème de Bolzano-Weierstrass, appliqué aux suites réelles, nous dit que l'on peut en extraire une sous-suite convergente de n'importe quelle suite bornée. Le théorème nous dit qu'une telle sous-suite existe toujours, mais il ne nous dit pas comment trouver cette sous-suite. Il ne nous dit pas non plus qu'il n'en existe qu'une seule : il existe des situations où l'on peut extraire plusieurs sous-suites convergentes d'une même suite bornée.

Il existe plusieurs démonstrations du théorème.

• La première est simplement une application de la propriété précédente, qui dit que l'on peut extraire une sous-suite monotone de toute suite bornée. Or, toute suite monotone et bornée converge vers sa borne supérieure/inférieure, et cette sous-suite ne fait pas exception.
• La seconde est reproduite ci-dessous.

Modèle:NavChapitreModèle:Autocat