Électricité/Bobines et condensateurs en série/parallèle

Modèle:Électricité Dans ce chapitre, nous allons étudier ce qui se passe quand on place deux condensateurs en série ou en parallèle. Nous ferons ensuite de même, mais avec les bobines.

Associations de condensateurs

Comme les résistances, les condensateurs peuvent aussi être associés en série ou en parallèle. Et là encore, on peut calculer une grandeur identique à la résistance équivalente, si ce n'est que les résistances sont remplacées par des capacités : la capacité équivalente. Ce concept est très simple pour qui se souvient de la définition de la capacité ($Q=C\cdot U$). La capacité équivalente d'un ensemble de condensateurs se définit par la quantité de charges stockées dans le circuit, divisée par la tension aux bornes du générateur : $Q_{tot}=C_{eq}\cdot U_{gen}$.

Condensateurs en série.

Condensateurs en parallèle.

Condensateurs en parallèle

Le calcul de la capacité équivalente est très simple pour des condensateurs en parallèle. D'après la loi des mailles, la tension au bornes de chaque condensateur est égale à la tension du générateur. Chaque condensateur stocke donc une charge égale à :

$Q_1=C_1\cdot U$

$Q_2=C_2\cdot U$

La charge totale stockée dans le circuit est donc de :

$Q=Q_1+Q_2$

En faisant le remplacement avec les équations précédentes, on a :

$Q=C_1\cdot U+C_2\cdot U=(C_1+C_2)\cdot U$

En divisant par $U$, on trouve la capacité équivalente :

$\frac{Q}{U}=C_1+C_2=C_{eq}$

La capacité équivalente de condensateurs en parallèle est donc la somme de leurs capacités. Et le raisonnement se généralise facilement pour plus de deux condensateurs en parallèle. Dit autrement :

$C_{eq}=\sum _i{C}_i$

Condensateurs en série

Maintenant, prenons deux condensateurs et plaçons-les en série.

• Les capacités des deux condensateurs sont respectivement $C_1$ et $C_2$.
• Les tensions aux bornes de chaque condensateur sont notées $U_1$ et $U_2$, celle du générateur étant notée $U$.
• Les charges de ces condensateurs sont notées respectivement $Q_1$ et $Q_2$.

D'après la loi des mailles, on a :

$U=U_1+U_2$

Vu qu'ils sont en série, ces condensateurs sont alimentés par un courant identique. En conséquence, la charge qu'ils ont accumulé est la même pour tous les condensateurs. On applique alors la formule $U=\frac{Q}{C}$ :

$U=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}$

On divise par $Q$ pour obtenir l'inverse de la capacité équivalente :

$\frac{U}{Q}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$

On voit que la situation est similaire à celle pour des résistances  : l'inverse de la capacité équivalente est égale à la somme des inverses des capacités. Et cela vaut aussi avec plus de deux condensateurs.

$\frac{1}{C_{eq}}=\sum _i\frac{1}{C_i}$

Associations de bobines

Comme les résistances et les condensateurs, les bobines peuvent être associés en série ou en parallèle. Et là encore, on peut calculer une grandeur identique à la résistance/capacité équivalente, mais pour les bobines : l'inductance équivalente. Celle-ci vaut, par définition :

$U=L_{eq}\cdot \frac{d{I}_{tot}}{dt}$

Bobines en série.

Bobines en parallèle.

Bobines en série

Prenons l'exemple de deux bobines en série, les raisonnements suivants pouvant être adaptés pour plus de deux bobines. Si on alimente ces bobines avec une source de tension $U$, la loi des mailles nous donne :

$U=U_{L1}+U_{L2}$

On applique alors la formule $U=L\cdot \frac{dI}{dt}$, en prenant garde au fait que l'intensité est la même dans tout le circuit :

$U=L_1\cdot \frac{dI}{dt}+L_2\cdot \frac{dI}{dt}=(L_1+L_2)\cdot \frac{dI}{dt}$

On voit que l'inductance équivalente est égale à la somme des inductances.

Bobines en parallèle

Maintenant, passons au cas de deux bobines en parallèle. D'après la loi des nœuds, on sait que :

$I=I_1+I_2$

Dérivons des deux côtés :

$\frac{dI}{dt}=\frac{d{I}_1}{dt}+\frac{d{I}_2}{dt}$

Avec la formule $U=L\cdot \frac{dI}{dt}$, on peut trouver : les formules suivantes : $\frac{U_{L1}}{L_1}=\frac{d{I}_1}{dt}$ et $\frac{U_{L2}}{L_2}=\frac{d{I}_2}{dt}$. En faisant le remplacement, on trouve :

$\frac{dI}{dt}=\frac{U_{L1}}{L_1}+\frac{U_{L2}}{L_2}$

D'après la loi des mailles, la tension aux bornes de chaque bobine est égale à la tension du générateur : $U=U_{L1}=U_{L2}$. En faisant le remplacement, on a :

$\frac{dI}{dt}=\frac{U}{L_1}+\frac{U}{L_2}$

Divisons maintenant par U :

$\frac{1}{U}\frac{dI}{dt}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}$

Le terme de gauche n'est autre que l'inverse de l'inductance équivalente :

$\frac{1}{L_{eq}}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}$

On voit qu'en parallèle, l'inverse de l'inductance équivalente est égale à la somme des inverses des inductances de chaque bobine.