Topologie/Bases d'ouverts

Topologie engendrée par une collection de parties

Soient $X$ un espace topologique et $𝒜$ une collection de parties de $X$.

Théorème — L'intersection d'une famille de topologies sur $X$ est encore une topologie sur cet ensemble.

On appelle topologie engendrée par $𝒜$ la topologie $\tau (𝒜)$ obtenue en intersectant toutes les topologies sur $X$ contenant $𝒜$. C'est ainsi la moins fine de toutes les topologies sur $X$ contenant $𝒜$.

Base d'un espace topologique

Une collection $ℬ$ d'ouverts de $X$ est une base d'ouverts si tout ouvert est réunion d'éléments de $ℬ$.

Théorème — Si une collection $ℬ$ de parties de $X$ vérifie les deux conditions suivantes :

1. $ℬ$ recouvre $X$, cela signifie que $X$ s'obtient comme la réunion de tous les éléments de $ℬ$
2. l'intersection de deux éléments de $ℬ$ peut s'écrire comme une réunion d'éléments de $ℬ$, c-à-d en prenant $B_1,B_2\in ℬ$, en chaque point $x$ de leur intersection, on peut toujours trouver $B_x$ dans $ℬ$ de sorte que $x\in B_x\subseteq B_1\cap B_2$

alors il existe une topologie sur $X$, et une seule telle que $ℬ$ en est une base — c'est la topologie engendrée par cette collection.