Formulaire d'optique

Loi de Snell-Descartes

Si la lumière vient d'en haut: $n_2\cdot \sin i_2=n_1\cdot \sin i_1$ entraine

$i_2=\arcsin (\frac{n_1}{n_2}\cdot \sin (i_1))$ ;

En sens inverse, si la lumière vient d'en bas: tant que i₂ ne dépasse pas l'angle $i_{2max}=\lambda =\arcsin (\frac{n_1}{n_2}\cdot )$ on a de la réfraction et on peut écrire :$i_1=\arcsin (\frac{n_2}{n_1}\cdot \sin (i_2))$ ; si i₂>i_2max, alors on a de la réflexion totale.

Formules du dioptre sphérique

On montre que la relation sur les angles peut aux petits angles, c'est-à-dire dans des conditions de stigmatisme approché, s'écrire:

$\frac{n_1.C{A}_1}{S{A}_1}=\frac{n_2.C{A}_2}{S{A}_2}$

$\frac{n_1.(a_1-c)}{(a_1-s)}=\frac{n_2.(a_2-c)}{(a_2-s)}$

ce que l'on peut écrire après un peu d'algèbre :

$\frac{n_1}{(a_1-s)}-\frac{n_2}{(a_2-s)}=\frac{n_1-n_2}{(c-s)}$

et en prenant comme origine le point S : ce qui revient à prendre s=0

$\frac{n_1}{a_1}-\frac{n_2}{a_2}=\frac{n_1-n_2}{c}$

et en utilisant comme notation xo = a1, xi=a2, fo=n1 c/(n1-n2)et fi= - n2 c /(n1-n2):

$x_i=\frac{f_i*x_o}{(x_o-f_o)}$ et de même:

$y_i=\frac{-f_o*y_o}{(x_o-f_o)}$

Construction géométrique

Lentille

$\frac{n_1}{a_1}-\frac{n_2}{a_2}=\frac{n_1-n_2}{c_1}$

et au deuxième dioptre

$\frac{n_2}{a_2}-\frac{n_3}{a_3}=\frac{n_2-n_3}{c_2}$

En additionnant ces deux formules :

$\frac{n_1}{a_1}-\frac{n_3}{a_3}=\frac{n_1-n_2}{c_1}+\frac{n_2-n_3}{c_2}$

on obtient la formule des lentilles.

Si les milieux 1 et 3 sont de l'air, d'indice 1 (approxmativement), la formule se simplifie :

$\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_3}=\frac{1-n}{c_1}+\frac{n-1}{c_2}=\frac{1}{f}$

où

• a₁ et a₃ sont les abscisses de l'objet et de l'image après passage des deux dioptres qui constituent la lentille mince,
• f est l'abscisse du foyer objet et
• f′ = - f est l'abscisse du foyer image.

On trouve aussi comme notation dans les pays anglo-saxons :

• f_o l'abscisse du foyer objet,
• f_i= - f_o est l'abscisse du foyer image,

Si x_o et x_i sont les abscisses de l'objet et de l'image, alors

$\frac{1}{x_o}-\frac{1}{x_i}=\frac{1-n}{c_1}+\frac{n-1}{c_2}=\frac{1}{f_o}=\frac{-1}{f_i}$

c'est la formule dite de Descartes, qui avec deux lignes d'algèbre s'écrit :

$(x_i-f_i)=\frac{f_i\times f_o}{(x_o-f_o)}$

formule dite de Newton

On a

$x_i=\frac{f_i\times f_o}{(x_o-f_o)}+f_i$

et donc

$x_i=\frac{f_i\times x_o}{(x_o-f_o)}$

et de même:

$y_i=\frac{-f_o\times y_o}{(x_o-f_o)}$

Relation de conjugaison d'une lentille mince