Manuel de géométrie vectorielle/Barycentre de 2 points pondérés

Construction du barycentre

L’égalité $\alpha \overrightarrow{\mathrm{G}\mathrm{A}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{G}\mathrm{B}}=\overrightarrow{0}$ définissant le barycentre ne permet pas telle quelle de construire le point G, car il apparaît deux fois dans cette égalité. Quelques calculs qu’il est indispensable savoir refaire sur des exemples concrets permettent d’obtenir la formule suivante. Celle-ci permet de construire le barycentre d’un système de deux points pondérés.

Modèle:Attention

Modèle:Démonstration

On démontre l’autre égalité de la même manière, c’est un bon exercice.

Cette égalité montre également le caractère unique du barycentre tel qu’énoncé dans la définition.

Alignement

D'après la définition du barycentre G du système de points pondérés $\{(\mathrm{A},\alpha );(\mathrm{B},\beta )\}$, $\alpha \overrightarrow{\mathrm{G}\mathrm{A}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{G}\mathrm{B}}=\overrightarrow{0}$.

En écrivant cette égalité sous la forme $\alpha \overrightarrow{\mathrm{G}\mathrm{A}}=-\beta \overrightarrow{\mathrm{G}\mathrm{B}}$, on en déduit que les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{G}\mathrm{A}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{G}\mathrm{B}}$ sont colinéaires. D'où la propriété :

Comme $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{G}}=\frac{\beta }{\alpha +\beta }\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, alors $G\in (\mathrm{A}\mathrm{B})$

Réduction

Modèle:Attention

Modèle:Démonstration

Dans l'expression $\alpha \overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{A}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{B}}$ qui dépend deux fois du point M, l'introduction d'un barycentre a permis de réduire le nombre d'occurrences du point M à une seule.