Recueil d'exercices de mécanique élémentaire/Modèle de Kronnig-Penney

Modèle:REME soit un potentiel créneau Vo+V1 et Vo-V1: on demande la limite asymptotique des valeurs propres.

solution :

L'équation aux valeurs propres

$u^{{\text{'}}^{\prime }}(x)+(E-V(x))u(x)=0$

avec V(x) périodique de période Pi , de moyenne nulle , est une équation de Floquet , donc si E est très élevé , il y a deux valeurs propres (Homo(n) et Lumo(n)pour reprendre les notations de chimie) voisines de n², de fonctions propres voisines de cos(nx) et sin(nx)(cf Eastham).

L'intervalle-gap Gn = Ln-Hn est le n-ième gap, correspondant à des solutions instables, donc non valables en méca-Q. Pour tout V(x) correspond la suite Gn, de manière assez précise (puisqu'il s'agit de méthodes semi-classiques, le scattering inverse s'applique : cf Helffer).

Dans le cas du modèle de K-P (Kronig-Penney), la solution est calculable complètement.