Calcul scientifique/Résolution de problèmes avec condition initiale

Problème de Cauchy

On parle de problème de Cauchy si l'on a une équation différentielle et des conditions initiales (CI)

Méthode d'Euler explicite ou schéma progressif

Le schéma d’Euler progressif est un schéma explicite, car il permet de calculer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ explicitement : $u_{n+1}=u_n+h\cdot f(t_n,u_n)$

Méthode d'Euler implicite ou schéma rétrograde

Le schéma d’Euler rétrograde est un schéma implicite, car $u_{n+1}$ est défini implicitement en fonction de $u_n$ : $u_{n+1}=u_n+h\cdot f(t_{n+1},u_{n+1})$

En général, il faut donc résoudre une équation non-linéaire à chaque pas de temps. La méthode de Newton est souvent utilisée pour cela.

Méthode de Cranck-Nicolson

Un autre schéma de résolution qui offre une bonne convergence : $u_{n+1}=u_n+\frac{h}{2}\cdot [f(t_n,u_n)+f(t_{n+1},u_{n+1})]$

Méthode de Heun

Une spécialisation du schéma de Cranck-Nicolson dans lequel on explicite $u_{n+1}$ comme dans la méthode d'Euler explicite $u_{n+1}=u_n+h\cdot f(t_n,u_n)$ :

$u_{n+1}=u_n+\frac{h}{2}\cdot [f(t_n,u_n)+f(t_{n+1},u_n+h\cdot f(t_n,u_n))]$