Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Dérivée partielle d'un vecteur

Soit un champ vectoriel $𝐯$ de coordonnées ${\left[v_a\right]}_i$ dans la base naturelle associée au système de coordonnées ${\left[x_a\right]}^{◻}$ et de coordonnées ${\left[v_b\right]}_k$ dans la base naturelle associée au système de coordonnées ${\left[x_b\right]}^{◻}$.

La dérivée partielle ou dérivée virgule

${\left[v_a\right]}_{i,j}={\left[{\partial }_a\right]}_j{\left[v_a\right]}_i$

n'est pas un tenseur. En effet, lorsqu'on dérive la formule de changement de coordonnées

${\left[v_a\right]}_i({\left[x_a\right]}^{◻})=\sum _k{\left[{\theta }_{ba}\right]}^k{}_i{\left[v_b\right]}_k({\left[{\mathrm{\Theta }}_{ba}\right]}^{◻}({\left[x_b\right]}^{◻}))$

on obtient

${\left[v_a\right]}_{i_{,}j}=\sum _{kl}{\left[{\theta }_{ba}\right]}^k{}_i({\left[v_b\right]}_{k_{,}l}){\left[{\theta }_{ba}\right]}^l{}_j+\sum _k({\left[{\theta }_{ba}\right]}^k{}_{i_{,}j}){\left[v_b\right]}_k$

formule de transformation d'un tenseur deux fois covariant, troublée par la présence d'un second terme, contenant le jacobien de la matrice de changement de base.