Invariants intégraux/Cartan1922/028

Considérons un système de N équations différentielles ordinaires du premier ordre, en notant $𝐪$ le vecteur des N variables dépendantes et t la variable indépendante :

$\frac{d𝐪}{dt}=𝐐(𝐪,t)$

Une solution $𝐪={𝐪}_S(t)$ est appelée trajectoire du système.

Une fonction quelconque $f(𝐪,t)$ a pour différentielle

$df=\left(\mathrm{\nabla }f\right)\cdot d𝐪+\frac{\partial f}{\partial t}dt$

Prise sur une trajectoire, cette différentielle devient

$df=(\left(\mathrm{\nabla }f\right)\cdot 𝐐+\frac{\partial f}{\partial t})dt$

On appelle intégrales premières du système d'équations différentielles les fonctions $u(𝐪,t)$ qui restent constantes le long d'une trajectoire quelconque. Ces fonctions sont donc les solutions de l'équation aux dérivées partielles linéaire du premier ordre

$\left(\mathrm{\nabla }u\right)\cdot 𝐐+\frac{\partial u}{\partial t}=0$

Réécrivons la différentielle de f sous la forme

$df=\left(\mathrm{\nabla }f\right)\cdot (d𝐪-𝐐dt)+(\left(\mathrm{\nabla }f\right)\cdot 𝐐+\frac{\partial f}{\partial t})dt$

Pour une intégrale première, on a

$du=\left(\mathrm{\nabla }u\right)\cdot (d𝐪-𝐐dt)$

Donc la différentielle d'une intégrale première quelconque est une combinaison linéaire des N formes différentielles linéaires

$d{q}_1-Q_{1}dt,d{q}_2-Q_{2}dt,\dots ,d{q}_N-Q_{N}dt$

Réciproquement, si la différentielle de $v$ est une combinaison linéaire

$dv=𝐜\cdot (d𝐪-𝐐dt)$

des N formes, écrivant

$dv=\left(\mathrm{\nabla }v\right)\cdot d𝐪+\frac{\partial v}{\partial t}dt$

on en déduit $𝐜=\mathrm{\nabla }v$ et $\left(\mathrm{\nabla }v\right)\cdot 𝐐+\frac{\partial u}{\partial t}=0$, donc que $v$ est une intégrale première.

Si l'on se donne N intégrales premières indépendantes, le système linéaire

$d{u}_j=\left(\mathrm{\nabla }{u}_j\right)\cdot (d𝐪-𝐐dt)$

peut être inversé, c'est à dire que chaque forme $d{q}_i-Q_{i}dt$ est une combinaison linéaire des $d{u}_j$