Analyse/Suites

Définition : suite numérique

Soit l'application $u$ de $\mathbb{N}$ dans $ℝ$

$n\in \mathbb{N}\mapsto u_n\in ℝ$

On dit que $(u_n)$ est la suite numérique de terme général $u_n$.

On peut la citer extensivement sous la forme :
$\{u_0,u_1,u_2,\cdots ,u_n,\cdots \}\subset ℝ$

suite extraite

On dit que $(v_p)$ est une suite extraite (ou une sous-suite) de la suite $(u_n)$
si et seulement si :

$\mathrm{\exists }\varphi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$strictement croissante telle que $\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N},v_p=u_{\varphi (p)}$

suite stationnaire

Soit $(u_n)$ une suite numérique de terme général $u_n$
On dit que $(u_n)$ est une suite stationnaire si et seulement si :

$\begin{array}{c}a)\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\\ b)\mathrm{\exists }a\in ℝ\end{array}$ tels que :$\mathrm{\forall }n>N;u_n=a$

Suite Monotone

Une suite est monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante

Suite croissante

Définition

une suite $(u_n)$ est croissante à partir d'un certain rang si

$\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}$

tel que $\mathrm{\forall }n\ge N,u_{n+1}\ge u_n$

Exemple

$U_n=n^2$

Suite décroissante

Définition

une suite $(u_n)$ est décroissante à partir d'un certain rang si

$\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}$

tel que $\mathrm{\forall }n\ge N,u_{n+1}\le u_n$

Exemple

$u_n=\frac{1}{n}$

Application

pour savoir si une suite est monotone il est souvent astucieux

• d'étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$
  
• d'étudier le signe de $\frac{u_{n+1}}{u_n}-1$
  
• si la suite est de la forme $u_n=f(n)$, d'étudier la monotonie de f à partir du signe de sa dérivée

Exemple

$n+1$

Suite Bornée

Suite Minorée

Une suite $u_n$ est minorée s'il existe au moins un réel inférieur à tous les termes de la suite, autrement dit si:

$\mathrm{\exists }A\in ℝ$ tel que $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_n>A$

Suite Majorée

Une suite $u_n$ est majorée s'il existe au moins un réel superieur à tous les termes de la suite, autrement dit si:

$\mathrm{\exists }A\in ℝ$ tel que $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_n<A$

Suite Bornée

Une suite $u_n$ est bornée si elle est majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe au moins un réel A tel que:

$|u_n|<A$

Convergence et Limite

Limite finie

Définition

Une suite possédant une limite finie est dite convergente. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.

On dit que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $l$ si quel que soit $ϵ>0$ tous les termes de la suite $(u_n)$ appartiennent à un intervalle $[l-ϵ;l+ϵ]$ sauf un nombre fini de termes ou autrement dit:

$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N}$

tel que $\mathrm{\forall }n>N(ϵ)\Rightarrow |u_n-l|<ϵ$

dans ce cas on note $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n=l$ ou $u_n\to l$

Unicité de la limite

Théorème

Une suite convergente a une unique limite l.

Démonstration

Soit une suite $(u_n)$ convergente, supposons que la suite $(u_n)$ possède deux limites distinctes $l$ et $l^{\prime }$

d'après la definition de la limite on peut affirmer que:

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}$

tel que $\mathrm{\forall }n>N\Rightarrow |u_n-l|<ϵ$

et

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }{N}^{\prime }\in \mathbb{N}$

tel que $\mathrm{\forall }n>N^{\prime }\Rightarrow |u_n-l^{\prime }|<ϵ$

donc pour $n>\max (N,N^{\prime })$ on a

$|u_n-l|<ϵ$ (1)

$|u_n-l^{\prime }|<ϵ$ (2)

en additionnant (1) et (2) on a

$|u_n-l^{\prime }|+|u_n-l|<2ϵ$ (3)

d'après l'inégalité triangulaire

$|l-l^{\prime }|=|l-u_n-l^{\prime }+u_n|<|l-u_n|+|-l^{\prime }+u_n|=|u_n-l^{\prime }|+|u_n-l|$ (4)

en intégrant (4) à (3) on obtient

$|l-l^{\prime }|<2ϵ$ (5)

puisque cette inégalité est vraie pour tout $ϵ>0$ et que l'on a posé au départ $l\ne l^{\prime }$ on peut poser $ϵ=1/4|l-l^{\prime }|$ en l'intégrant à (5) on obtient

$|l-l^{\prime }|<2\times \frac{1}{4}|l-l^{\prime }|$

donc $1<\frac{1}{2}$

Ce qui est absurde, donc on vient de démontrer par l'absurde que l = l', et donc qu’il existe une et une seule limite à une suite convergente

Théorème des suites monotones bornées

Théorème

Une suite majorée et croissante est convergente
Une suite minorée et décroissante est convergente

Démonstration

Rappelons que toute partie non vide et majorée de $ℝ$ admet une borne supérieure finie. Si l'ensemble $\{u_n,n\in \mathbb{N}\}$ est majoré, il admet une borne supérieure finie : notons-la $l$ . Puisque $l$ est le plus petit des majorants, pour tout $\epsilon >0$ , $l-\epsilon$ n'est pas un majorant. Donc il existe $n_0$ tel que $l-\epsilon ⩽u_{n_0}⩽l$ . Mais si $(u_n)$ est croissante, alors pour tout $n⩾n_0$ ,

$l-\epsilon ⩽u_{n_0}⩽u_n⩽l,$

donc $(u_n)$ converge vers $l$ .

Si la suite n'est pas majorée, pour tout $A$ , il existe $n_0$ tel que $u_{n_0}⩾A$ . Si $(u_n)$ est croissante, alors pour tout $n⩾n_0$ ,

$A⩽u_{n_0}⩽u_n,$

donc la suite $(u_n)$ tend vers l'infini.

Si la suite $(u_n)$ est décroissante, on applique ce qui précède à la suite croissante $(-u_n)$.

Théorème des suites convergentes

Théorème

Une suite convergente est bornée

Démonstration

($u_n$) converge vers l, donc d'après la définition de la convergence d'une suite :

$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }{N}_0(ϵ)\in \mathbb{N}$ tel que :

$\mathrm{\forall }n>N_0(ϵ),|u_n-l|<ϵ$

D'où pour $n>N_0$, on a :
$ϵ>|u_n-l|>|u_n|-|l|$
Ainsi, $|u_n|<ϵ+|l|$

D'où pour $n>N_0$ : $|u_n|$ ≤ $max(ϵ+|l|,|u_0|,|u_1|,.....,|u_{(}{N}_0)|)=K$

D'où ($u_n$) est bornée

Limite infinie

On dit que la suite $(u_n)$ diverge vers $+\mathrm{\infty }$ (respectivement $-\mathrm{\infty }$) si quel que soit $A\in ℝ$ tous les termes de la suite $(u_n)$ appartiennent à un intervalle $[M;+\mathrm{\infty }[$ (respectivement $]-\mathrm{\infty };M]$) sauf un nombre fini de termes ou autrement dit:

$\mathrm{\forall }A\in ℝ,\mathrm{\exists }N(A)\in \mathbb{N}$

tel que $\mathrm{\forall }n>N(A)\Rightarrow u_n>A$ (respectivement $u_n<A$)

dans ce cas on note $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n=+\mathrm{\infty }$ ou $u_n\to +\mathrm{\infty }$ (respectivement $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n=-\mathrm{\infty }$ ou $u_n\to -\mathrm{\infty }$)

Adhérence

On appelle valeur d'adhérence d'une suite toute limite finie d'une sous-suite.

Par exemple, soit ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}={(-1)}^n$, ses valeurs d'adhérence sont évidemment 1 et -1.

D'après l'unicité de la limite, l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite convergente vers l est $\{l\}$. Cependant, la réciproque est fausse : la suite définie par $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},u_{2n}=0\text{ et }{u}_{2n+1}=n$ a une unique valeur d'adhérence 0 mais ne converge pas.

Suites particulières

Suites de Cauchy

Une suite de Cauchy est définie par :

$\mathrm{\forall }(n,m)\in {\mathbb{N}}^2,\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N},(n,m)>N,\Vert a_n-a_m\Vert <ϵ$

Exercices

Au cours d'une bourse aux livres, un manuel scolaire perd chaque année 12% de sa valeur. Un livre a été acheté neuf en 1985, il coûtait alors 150F. Quel est son prix à la bourse aux livres de 1990 ? de 1995 ?