Mathématiques du traitement du signal/Développements limités

Le développement de Taylor permet d'écrire :

$C(S+\alpha \delta S)=C(S)+\sum _{n=1}^N\frac{1}{n!}\underset{S}{\overset{n}{\partial }}C(S)(\alpha \delta S{)}^n+o(\delta S^N)$

on peut alors toujours combiner ces développements avec differents ${\alpha }_i$ via une somme pondérée par des coefficients ${\beta }_i$ et obtenir :

$\sum _{i=1}^I{\beta }_{i}C(S+{\alpha }_i\delta S)=\left(\sum _i{\beta }_i\right)C(S)+\sum _{n=1}^N\left(\sum _i{\beta }_i{\alpha }_i^n\right)\frac{1}{n!}\underset{S}{\overset{n}{\partial }}C(S)(\alpha \delta S{)}^n+o(\delta S^N)$

on peut alors choisir les ${\alpha }_i$ et ${\beta }_i$ de sorte que toutes les puissances de $\delta S$ jusqu'à $N$ s'annulent (${\delta }_i(j)$ est l'indice de Kroeneker) :

$(1.1)\sum _{i=1}^N{\beta }_i{\alpha }_i^n={\delta }_{\{0,N\}}(n),\mathrm{\forall }1\le n<N$

On aura alors :

$\sum _{i=1}^N{\beta }_{i}C(S+{\alpha }_i\delta S)=C(S)+\underset{S}{\overset{N}{\partial }}C(S)\delta S^N+o(\delta S^N)$

L'équation (1.1) fait apparaître une matrice de Vandermonde (voir fr.wikipedia) :

$(1.2)\mathrm{V}\mathrm{d}\mathrm{M}(\alpha {)}^{\prime }\beta ={\mathrm{\Delta }}_{\{0,N\}},\mathrm{V}\mathrm{d}\mathrm{M}(\alpha )=\left(\begin{array}{cccc}1& {\alpha }_1& \cdots & {\alpha }_1^N\\ 1& {\alpha }_2& \cdots & {\alpha }_2^N\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 1& {\alpha }_N& \cdots & {\alpha }_N^N\end{array}\right),{\mathrm{\Delta }}_{\{0,N\}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$