Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure/Expression I/Démonstration

Partant de $a_{i;k}=a_{i,k}-{\mathrm{\Gamma }}_{ik}^j{a}_j$, on dérive une seconde fois :

$\begin{array}{ccc}{a}_{i;k;l}& =& a_{i,k,l}-{\mathrm{\Gamma }}_{ik,l}^j{a}_j-{\mathrm{\Gamma }}_{ik}^j{a}_{j,l}-{\mathrm{\Gamma }}_{il}^m{a}_{m;k}-{\mathrm{\Gamma }}_{kl}^m{a}_{i;m}\\ & =& a_{i,k,l}-{\mathrm{\Gamma }}_{ik,l}^j{a}_j-{\mathrm{\Gamma }}_{ik}^j{a}_{j,l}-{\mathrm{\Gamma }}_{il}^m{a}_{m,k}+{\mathrm{\Gamma }}_{il}^m{\mathrm{\Gamma }}_{mk}^n{a}_n-{\mathrm{\Gamma }}_{kl}^m{a}_{i,m}+{\mathrm{\Gamma }}_{kl}^m{\mathrm{\Gamma }}_{im}^n{a}_n\end{array}$

Les termes 1, 6 et 7 sont symétriques en kl et disparaissent donc dans le calcul de $a_{i;k;l}-a_{i;l;k}$. Les termes 3 et 4 s'échangent et disparaissent également dans la différence. Restent les termes 2 et 5 :

$R_i{}^j{}_{kl}=-{\mathrm{\Gamma }}_{ik,l}^j+{\mathrm{\Gamma }}_{il,k}^j+{\mathrm{\Gamma }}_{il}^m{\mathrm{\Gamma }}_{mk}^j-{\mathrm{\Gamma }}_{ik}^m{\mathrm{\Gamma }}_{ml}^j$