Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Base naturelle

Nous allons maintenant introduire la notion de "base naturelle".

Par définition, la base naturelle au point $M$ est la base formée par les vecteurs:

${𝐞}_i=\frac{\partial 𝐎𝐌}{\partial x^i}$

où $O$ représente évidemment l'origine.

${𝐞}_i$ est donc la base naturelle de vecteurs locaux associés à un système de coordonnées quelconque $x^i$. Un élément infinitésimal s'écrit dans cette base:

$d𝐥=\sum _{i}d{x}^i{𝐞}_i$

On a par définition:

${𝐞}_i=\frac{\partial 𝐥}{\partial x^i}$

• Remarques
  1. La lettre $𝐥$ étant muette, on voit parfois écrit ${𝐞}_i=\frac{\partial }{\partial x^i}$, avec le risque de confusion avec l'opérateur dérivation.
  2. Sauf dans le cas d'un repère cartésien, la base naturelle varie d'un point à un autre. Chaque symbole ${𝐞}_1$, ${𝐞}_2$, etc. représente en fait un champ de vecteurs.
  3. Les vecteurs de base se transforment selon la formule ${\left[{𝐞}_a\right]}_i=\sum {\left[{𝐞}_b\right]}_i{\left[{\theta }_{ba}\right]}^i{}_j$. Démonstration