Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Transformations entre systèmes de coordonnées

On s'intéresse maintenant aux changements de coordonnées entre deux systèmes de coordonnées différents.

Soient deux systèmes de coordonnées a et b (on va donc noter la i^ème composante d'un point respectivement ${\left[x_a\right]}^i$ et ${\left[x_b\right]}^i$ dans l'un ou l'autre des système). Considérons les fonctions de transformation :

${\left[x_b\right]}^i={\left[{\mathrm{\Theta }}_{ba}\right]}^i({\left[x_a\right]}^0,{\left[x_a\right]}^1,\dots )$

${\left[x_a\right]}^i={\left[{\mathrm{\Theta }}_{ab}\right]}^i({\left[x_b\right]}^0,{\left[x_b\right]}^1,\dots )$

Le jacobien de la transformation relie les variations infinitésimales des coordonnées :

$d{\left[x_a\right]}^i=\sum _j{\left[{\theta }_{ab}\right]}^i{}_{j}d{\left[x_b\right]}^j$

Ainsi on a:

${\left[{\theta }_{ab}\right]}^i{}_j=\frac{\partial {\left[{\mathrm{\Theta }}_{ab}\right]}^i}{\partial {\left[x_b\right]}^j}$

Le jacobien de la transformation inverse est l'inverse du jacobien. Introduisant ${\delta }_j^i$ le symbole de Kronecker, on a

$\sum _j{\left[{\theta }_{ab}\right]}^i{}_j{\left[{\theta }_{ba}\right]}^j{}_k={\delta }_k^i$

Et le symbole de Kronecker est défini comme suit:

${\delta }_{ij}={\delta }_i^j={\delta }^{ij}=\{\begin{array}{cc}1& \text{si }i=j\\ 0& \text{si }i\ne j\end{array}$