Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur dualiseur/Nullité de la dérivée covariante/Démonstration

La dérivée covariante du tenseur dualiseur est nulle.

Démonstration.

L'expression de la dérivée covariante à partir de la dérivée simple et du symbole de Christoffel donne $D_j\left({*}^{i_1{i}_2\dots i_N}\right)={\partial }_j\left({*}^{i_1{i}_2\dots i_N}\right)+{\mathrm{\Gamma }}_{kj}^{i_1}{*}^{k{i}_2\dots i_N}+{\mathrm{\Gamma }}_{kj}^{i_2}{*}^{i_{1}k\dots i_N}+\dots +{\mathrm{\Gamma }}_{kj}^{i_N}{*}^{i_1{i}_2\dots k}$

Réécrivons premier terme sous la forme ${\partial }_j\left(\frac{{ϵ}^{i_1{i}_2\dots i_N}}{\sqrt{\det g}}\right)$. Le symbole de Levi-Civita d'ordre N étant constant, ce terme devient ${ϵ}^{i_1{i}_2\dots i_N}{\partial }_j\left(\frac{1}{\sqrt{\det g}}\right)$.

Dans la liste des termes suivants, le premier se réduit à sa valeur pour laquelle $k=i_1$, le deuxième à sa valeur pour laquelle $k=i_2$, etc. La somme des N termes vaut donc ${\mathrm{\Gamma }}_{kj}^k{*}^{i_1{i}_2\dots i_N}$. Étant donné l'expression de la contraction du symbole de Christoffel ${\mathrm{\Gamma }}_{kj}^k=-{\partial }_j\left(\frac{1}{\sqrt{\det g}}\right)$, on trouve $D_j\left({*}^{i_1{i}_2\dots i_N}\right)=0$, c.q.f.d.