Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure

La dérivée covariante seconde d'un champ scalaire f est un tenseur d'ordre 2

$f_{;i;j}=f_{,i,j}-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{f}_{;k}$

Elle est symétrique parce que le symbole de Christoffel ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$ est invariant par échange des indices bas (espace sans torsion).

En revanche pour un champ de vecteurs $a_j$, les dérivations covariantes ne commutent pas. Le tenseur de courbure de Riemann $R_i{}^j{}_{kl}$ permet de calculer leur différence

$a_{i;k;l}-a_{i;l;k}=R_i{}^j{}_{kl}{a}_j$