Théorème de Thalès (E-M)

Modèle:ExoMath Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs connaissant un parallélisme ou de prouver un parallélisme connaissant des longueurs.

Voir le Cours de mathématiques de Wikilivres sur le théorème de Thalès.

Les basiques

Calculer une longueur

• Exercice 1

On considère un triangle ABC tel que AB = 5, BC = 6 et CA = 7. On place sur le segment [BC] un point M tel que BM = 4. La parallèle à (AC) passant par M rencontre (BA) en N. Calculer BN, AN et MN.

• Exercice 2

On considère un triangle TIC tel que TI = 5, IC = 8 et CT = 4. On place sur la demi-droite [TI) un point O tel que TO = 7 . La parallèle à (IC) passant par O rencontre (CT) en S. Calculer TS, CS et OS.

Ces exercices se déclinent à l'infini, en changeant le nom des points, les distances proposées et la configuration. La correction est automatique car il suffit de vérifier sur la figure construite la valeur trouvée pour la longueur.

Vérifier un parallélisme

• Exercice 1

On considère un triangle MNP tel que MN = 7, NP=5, PM = 8. On place sur le segment [NP] un point A tel que NA = 1,25 et sur le segment [PM] un point U tel que PU=6. Les droites (AU) et (MN) sont-elles parallèles ?

• Exercice 2

Les segments [AB] et [CD] se coupent en O. On sait que AB= 4, CD=6, AO=1 et DO=4,5

1. Les droites (AD) et (BC) sont-elles parallèles ?

2. Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles ?

Prendre une fraction de segment avec une règle non graduée et un compas

• Exercice 1

Comment prendre les deux tiers d'un segment [AB] ?

Les élaborés

Il s'agit d'utiliser la configuration de Thalès dans les deux sens, c'est-à-dire exploiter un parallélisme pour trouver des égalités de rapport et exploiter des égalités de rapport pour prouver un parallélisme. On trouvera aussi des exercices où il faut prouver le parallélisme par d'autres méthodes avant d'appliquer le théorème de Thalès. Enfin, on travaillera aussi avec des égalités de rapport où l'inconnue apparaît deux fois. Enfin, dans les exercices de recherche, il s'agit d'une démonstration générale dans laquelle aucune des distances ne sont connues.

• Exercice 1

On considère trois droites ($d_1$), ($d_2$) et ($d_3$) concourantes en O. A est un point de ($d_1$) et OA = 3. B est un point de ($d_2$) et OB = 4. C est un point de ($d_3$) et OC = 5. D est un point de la demi-droite [OA) et OD=5. La parallèle à (AB) passant par D coupe ($d_2$) en E. La parallèle à (BC) passant par E coupe ($d_3$) en F.

1. Calculer OE et OF.

2. Montrer que les droites (AC) et (DF) sont parallèles.

• Exercice 2

Dans la figure jointe, (C) est un cercle de centre O, de rayon 5 et de diamètre [AB].

La droite ($d_1$) est la médiatrice du segment [OA], la droite ($d_2$) est une tangente au cercle au point B.

Le point M est un point commun à la droite ($d_1$) et au cercle (C). La droite (OM) rencontre la droite ($d_2$) en N.

1. Montrer que les droites ($d_1$) et ($d_2$) sont parallèles.

2. Calculer la longueur ON.

• Exercice 3 (nécessite le Théorème de Pythagore et Théorème de Thalès anglosaxon)

On considère un segment [AB] tel que AB=7. Soit M un point du segment [AB] tel que AM=2. On trace les cercles ($C_1$) et ($C_2$) de diamètres [AM] et [MB]. Le point P est un point du cercle ($C_2$) tel que BP=2. La droite (PM) recoupe le cercle ($C_1$) en N.

1. Prouver que les droites (BP) et (AN) sont parallèles.

2. Calculer la distance AN.

3. Calculer les distances MP et MN.

• Exercice 4

On considère deux segments [AB] et [CD] sécants en O tels que AB=4, CD=7 et OA=1.

1. Calculer OC pour que les droites (AC) et (BD) soient parallèles.

2. Calculer OC pour que les droites (AD) et (BC) soient parallèles.

• Exercice 5

Dans la figure jointe, ($C_1$) et ($C_2$) sont deux cercles de centres $O_1$ et $O_2$ de rayons $r_1=2$ et $r_2=5$ et tangents extérieurement en A. La droite (d) est une tangente commune aux deux cercles, elle touche ($C_1$) en $T_1$ et ($C_2$) en $T_2$. Les droites ($T_1{T}_2$) et ($O_1{O}_2$) se rencontrent en M.

1. Montrer que les droites ($O_1{T}_1$) et ($O_2{T}_2$) sont parallèles.

2. Calculer $O_{1}M$.

• Exercice 6 (recherche)

On considère un parallélogramme (ABCD). Soit R un point de la diagonale [AC]. La parallèle à (AB) menée par R rencontre (AD) en M et (BC) en P. La parallèle à (AD) menée par R rencontre (AB) en N et (CD) en Q.

Montrer que (MN) // (BD) //(PQ).

Le quadrilatère (MNPQ) est-il un trapèze ? un parallélogramme ?

• Exercice 7(recherche)

Si (ABC) est un triangle, peut-on augmenter les longueurs AB et AC d'une unité et construire ainsi un triangle (AB'C') en situation de Thalès avec le triangle (ABC) ?