Les suites et séries/Les suites monotones réelles

Pour rappel, les suites monotones regroupent les suites constantes, croissantes et décroissantes.

• Dans le cas où chaque terme de la suite est plus grand que le précédent (pour tout rang $n$, on a : $u_{n+1}>u_n$), la suite est dite strictement croissante.
• Dans le cas contraire, on a $u_{n+1}<u_n$ pour tout rang $n$ et la suite est dite strictement décroissante.
• Si $u_{n+1}\le u_n$, la suite est dite décroissante.
• Si $u_{n+1}\ge u_n$, la suite est dite croissante.

Certaines suites récurrentes sont soit croissantes, soit décroissantes, selon leur premier terme ou la fonction utilisée. Tel est le cas de la suite définie par la relation $u_n=u_{n-1}\times 5$ : la fonction est décroissante avec $u_0<0$ et croissante avec $u_0>0$.

La convergence des suites monotones (qui sont soit croissantes, soit décroissantes) est assez simple à étudier, car il existe des critères de convergence spécifiques à ce type de suites.

Les suites majorées/minorées

Dans le cas le plus simple, il suffit de déterminer si elles sont croissantes ou décroissantes et de vérifier si elles ont un minorant/majorant. On peut se retrouver avec quatre cas bien précis :

	Croissante	Décroissante
Pas de majorant (mais un minorant)	$\mathrm{\infty }$	Limite égale à la borne inférieure
Pas de minorant (mais un majorant)	Limite égale à la borne supérieure	$-\mathrm{\infty }$

Les suites adjacentes

La propriété précédente a une conséquence assez intéressante dans le cas de suites dites adjacentes. Les suites adjacentes sont deux suites $(a_n)$ et $(b_n$ qui respectent les propriétés suivantes :

• $(a_n)$ est croissante alors que $(b_n$ est décroissante ;
• $a_n\le b_n$ pour tout rang $n$ ;
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(b_n-a_n)=0$.

Par définition des suites adjacentes, on sait que tout terme de la suite croissante est plus petit que n'importe quel terme de la suite décroissante.

$a_n\le b_p$, pour tout n et tout p.

Cela a deux conséquences :

• La suite $(a_n)$ est majorée : tout terme de $(b_n)$ est un majorant de la suite.
• La suite $(b_n)$ est minorée : tout terme de $(a_n)$ est un minorant de la suite.

Grâce à cela, on peut prouver que deux suites adjacentes ont la même limite.

Exemples : suites suites arithmétiques et géométriques

Les suites arithmétiques et géométriques sont les exemples les plus simples de suites monotones (sauf pour certaines suites géométriques, qui sont alternées). Aussi, nous pouvons démontrer leur convergence avec les théorèmes vus dans ce chapitre.

Les suites arithmétiques non-constantes divergent

Il est intéressant d'étudier la convergence/divergence des suites arithmétiques. On peut éliminer un cas assez simple : celui des suites constantes, qui convergent systématiquement. Pour les suites croissantes et décroissantes, c'est autre chose : elles divergent systématiquement. Pour résumer :

• Si $r=0$, la suite est constante et converge vers $u_0$.
• Si $r>0$, la suite diverge vers $+\mathrm{\infty }$.
• Si $r<0$, la suite diverge vers $-\mathrm{\infty }$.

On peut démontrer la divergence des suites arithmétiques non-constantes de plusieurs manières.

La convergence/divergence des suites géométriques

Toutes les suites géométriques ne convergent pas, bien que certaine le font. On peut éliminer directement le cas des suites géométriques qui sont alternées, qui ne peuvent pas converger par définition. Les suites géométriques constantes convergent aussi, par définition. Les autres suites convergent ou divergent, selon la valeur de la raison.

• Si $r>1$, la suite est diverge vers $+\mathrm{\infty }$ ou $-\mathrm{\infty }$ selon le signe du premier terme.
• Si $r=1$, la suite est constante et converge vers $u_0$.
• Si $-1<r<1$, la suite converge vers $0$.
• Si $-1\le r$, la suite est alternée (les termes consécutifs changent de signe) : elle n'a pas de limite.

On peut démontrer la divergence des suites géométriques non-constantes et non-alternées avec les mêmes raisonnements que pour les suites arithmétiques.

Modèle:NavChapitreModèle:Autocat