Savoirs fondamentaux du programme de MPSI/Mathématiques/Fonctions usuelles

Généralités

Notions d'injection, de surjection et de bijection

Définitions

• On dit que la fonction $f$ est injective si : $\mathrm{\forall }(x,y)\in E^2,f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$
• On dit que la fonction $f$ est surjective si : $\mathrm{\forall }y\in F,\mathrm{\exists }x\in E,y=f(x)$
• On dit que la fonction $f$ est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective, donc si : $\mathrm{\forall }y\in F,\mathrm{\exists }!x\in E,y=f(x)$

Bijection réciproque

• Si $f:E\to F$ est bijective, on appelle bijection réciproque de $f$ l'application $f^{-1}:\begin{array}{c}{}_{F\to E}\\ {}^{y\to x}\end{array}$
  où $x$ est l'unique antécédent de $y$ par $f$.

Continuité

• Soit $x_0\in I$ et $f$ une fonction. On dit que $f$ est continue en $x_0$ si $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$
• De manière équivalente, $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si, pour toute suite $(u_n{)}_{n>0}$ qui converge, la suite $(f(u_n){)}_{n⩾0}$ converge vers $f(x_0)$.

Dérivabilité

Définition

• On dit que $f$ est dérivable en $a\in I$ si $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe.
  Dans ce cas, on note $f^{\prime }(a)$ ce nombre réel appelé le nombre dérivé de $f$ en $a$.
• On dit que $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si $f$ est dérivable en tout point de $I$.
  Dans ce cas, on appelle dérivée de $f$ la fonction $f^{\prime }:\begin{array}{c}{}_{I\to ℝ}\\ {}^{x\to f^{\prime }(x)}\end{array}$.

Dérivée d'une composée de fonctions

• Soit $g:J\to ℝ$ une fonction où $J$ est un intervalle tel que $f(I)\subset J$.
• Si $f$ est dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur $J$, alors :
  $g\circ f:\begin{array}{c}{}_{I\to ℝ}\\ {}^{x\to g[f(x)]}\end{array}$ est dérivable sur $I$ et $(g\circ f{)}^{\prime }=(g^{\prime }\circ f)\cdot f^{\prime }$

Dérivée de la réciproque d'une fonction

• Soit $f:I\to ℝ$ une fonction continue strictement monotone.
  • Si $f$ est dérivable en $a\in I$, $f^{-1}$ est dérivable au point $f(a)$ si et seulement si $f^{\prime }(a)\ne 0$, et on a alors : $(f^{-1}{)}^{\prime }(b)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(b))}$
  • Si $f$ est dérivable sur $I$ et $\mathrm{\forall }x\in I,f^{\prime }(x)\ne 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable sur $f(I)$ et $(f^{-1}{)}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }\circ f^{-1}}$.

Propriétés utiles sur les variations

Variations de fonctions

• On dit que $f$ est croissante si : $\mathrm{\forall }(x,y)\in I^2,x⩽y\Rightarrow f(x)⩽f(y)$
• On dit que $f$ est strictement croissante si : $\mathrm{\forall }(x,y)\in I^2,x<y\Rightarrow f(x)<f(y)$
• On dit que $f$ est décroissante si : $\mathrm{\forall }(x,y)\in I^2,x⩽y\Rightarrow f(x)⩾f(y)$
• On dit que $f$ est strictement décroissante si : $\mathrm{\forall }(x,y)\in I^2,x<y\Rightarrow f(x)>f(y)$

Cas de stricte monotonie

• Si $f:I\to ℝ$ est strictement monotone, alors $f$ est injective.
• En particulier, si elle est continue, $f:I\to f(I)$ est bijective.
• De plus, $f^{-1}:f(I)\to I$ est strictement monotone de même sens que $f$.

Théorème

• Soit $f:I\to ℝ$ une fonction continue strictement monotone. Alors :
  • $f(I)$ est un intervalle,
  • $f$ est une bijection de $I$ sur $f(I)$,
  • $f^{-1}$ est continue et strictement monotone de même sens que $f$.

Bijections réciproques des fonctions trigonométriques

Tableau récapitulatif

	Domaine de définition	Domaine d'arrivée	Domaine de dérivabilité	Dérivée	Parité	Autres infos	Graphe
$\cos$	$[0,\pi ]$	$[-1,1]$	$]0,\pi [$	${\cos }^{\prime }(x)=-\sin (x)$	paire
$\arccos$	$[-1,1]$	$[0,\pi ]$	$]-1,1[$	$\arccos {}^{\prime }(y)=\frac{-1}{\sqrt{1-y^2}}$	ni paire, ni impaire !
$\sin$	$[\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$	$[-1,1]$	$]\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$	${\sin }^{\prime }(x)=\cos (x)$	impaire
$\arcsin$	$[-1,1]$	$[\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$	$]-1,1[$	${\arcsin }^{\prime }(y)=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$	impaire
$\tan$	$]\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$	$ℝ$	$]\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$	${\tan }^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}=1+{\tan }^2(x)$	impaire
$\arctan$	$ℝ$	$]\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$	$ℝ$	${\arctan }^{\prime }(y)=\frac{1}{1+y^2}$	impaire	$\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\arctan (y)=\frac{\pi }{2}$ $\underset{y\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\arctan (y)=\frac{-\pi }{2}$