Approfondissements de lycée/SE Démonstrations

Démonstrations

Exercices sur l'induction mathématique

1.

Démontrer que $1^2+2^2+\dots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Lorsque n=1,

Côté gauche de l'équation $=1^2=1$

Côté droit de l'équation $=\frac{1\times 2\times 3}{6}=\frac{6}{6}=1$

Par conséquent côté gauche = côté droit

Par conséquent, c'est vrai lorsque n=1.

Supposons que ceci est vrai pour un certain entier positif k,

i.e. $1^2+2^2+\dots +k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

$\begin{array}{ccc}{1}^2+2^2+3^2+...+k^2& =& \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\\ 1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1{)}^2& =& \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1{)}^2\\ & =& \frac{1}{6}(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]\\ & =& \frac{1}{6}(k+1)[2k^2+7k+6]\\ & =& \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\end{array}$

Par conséquent, ceci est aussi vrai pour k+1.

Par conséquent, par le principe d'induction mathématique ou de récurrence, ceci reste valable pour tous les entiers positifs n.

2.

Démontrer pour $n\ge 1$,

$(1+\sqrt{5}{)}^n=x_n+y_n\sqrt{5}$

où $x_n$ et $y_n$ sont des entiers.

Lorsque n=1,

$1+\sqrt{5}=x_1+y_1\sqrt{5}$

Par conséquent $x_1=1$ et $y_1=1$, qui sont tous les deux des entiers.

Par conséquent, ceci est vrai lorsque n=1.

Supposons que ceci est vrai pour un certain entier positif k,

i.e. $(1+\sqrt{5}{)}^k=x_k+y_k\sqrt{5}$ où $x_k$ et $y_k$ sont des entiers.

$\begin{array}{ccc}(1+\sqrt{5}{)}^k& =& x_k+y_k\sqrt{5}\\ (1+\sqrt{5}{)}^{k+1}& =& (x_k+y_k\sqrt{5})(1+\sqrt{5})\\ & =& x_k+y_k\sqrt{5}+x_k\sqrt{5}+5y_k\\ & =& (x_k+5y_k)+(x_k+y_k)\sqrt{5}\end{array}$

Puisque $x_k$ et $y_k$ sont tous deux des entiers, par conséquent $x_k+5y_k$ et $x_k+y_k$ sont aussi des entiers.

Par conséquent, ceci est aussi vrai pour k+1.

Par conséquent, par le principe d'induction mathématique ou de récurrence, ceci reste valable pour tous les entiers positifs n.