Invariants intégraux/Cartan1922/005

Le fait que $\int {\omega }_{\delta }$ soit un invariant intégral est une condition nécessaire des équations du mouvement. On va montrer que c'est aussi une condition suffisante, qui remplace le principe de Hamilton.

Partant d'équations différentielles quelconques

$\frac{dx}{X}=\frac{dy}{Y}=\frac{dz}{Z}=ds=\frac{d{v}_x}{V_x}=\frac{d{v}_y}{V_y}=\frac{d{v}_z}{V_z}=\frac{dt}{T}$,

où les dénominateurs sont des fonctions de $x,y,z,v_x,v_y,v_z,t$

Soit $I=\underset{(C)}{\int }{\omega }_{\delta }$ l'intégrale sur une courbe $x,y,z,t$ donnée et $I+\delta I$ l'intégrale sur une courbe voisine portée par le même tube de trajectoires. On a

$\delta I=\underset{(C)}{\int }m\delta v_{x}dx+m\delta v_{y}dy+m\delta v_{z}dz-\delta Edt+m{v}_x\delta \left(dx\right)+m{v}_y\delta \left(dy\right)+m{v}_z\delta \left(dz\right)-E\delta \left(dt\right)$

On calcule $\underset{(C)}{\int }{v}_x\delta \left(dx\right)=\underset{(C)}{\int }{v}_{x}d\left(\delta x\right)=v_x\delta x{|}_{(C)}-\underset{(C)}{\int }d{v}_x\delta x=-\underset{(C)}{\int }d{v}_x\delta x$ et idem pour les trois autres termes, donc

$\delta I=\underset{(C)}{\int }m\delta v_{x}dx+m\delta v_{y}dy+m\delta v_{z}dz-\delta Edt-m\delta xd{v}_x-m\delta yd{v}_y-m\delta zd{v}_z+\delta tdE$

ou

$\delta I=\underset{(C)}{\int }(mdx-\frac{\partial E}{\partial v_x}dt)\delta v_x+id.+(-md{v}_x-\frac{\partial E}{\partial x}dt)\delta x+id.+(dE-\frac{\partial E}{\partial t}dt)\delta t$

Ce terme doit être nul pour tout déplacement du contour $\delta x,\delta y,\delta z,\delta v_x,\delta v_z,\delta v_z,\delta t$ On en tire les équations du mouvement

$md{v}_x=-\frac{\partial E}{\partial x}dt$ ou $m\frac{d{v}_x}{dt}=-\frac{\partial V}{\partial x}$

$mdx=\frac{\partial E}{\partial v_x}dt$ ou $m\frac{dx}{dt}=m{v}_x$

idem $y$ et $z$